Dziś porównamy rozkłady prawdopodobieństwa dla oscylatora klasycznego i dla oscylatora opisywanego przy pomocy mechaniki kwantowej. Czy i jak te rozkłady prawdopodobieństwa dla oscylatora kwantowego można mierzyć? To trudne pytanie. Możemy zaryzykować jedynie taką odpowiedź: być może kiedyś w przyszłości będziemy to mogli robić, czy to wprost czy tez jakoś pośrednio. Póki co cieszmy się z tego, że potrafimy je teoretycznie wyrachować. Wyniki takich rachunków widzieliśmy na animacji z poprzedniej notki. Dziś zobaczymy je jeszcze raz, choć przeskalowane, jak tego sobie zażyczył BJAB w komentarzu pod poprzednią notką.
Z oscylatorem klasycznym nie powinniśmy natomiast mieć problemu. By jednak sensownie dyskutować prawdopodobieństwa, musimy ustalić reguły gry, musimy ustalić nasze założenia.
Ruch oscylatora klasycznego dany jest równaniem
x(t) = A sin t
Okres wynosi T=2 π . Amplituda A, przy danej energii E, dana jest wzorem
A = √ (2E)
Przypuśćmy, że obserwujemy nasz oscylator w ciągu jednego półokresu, przy t zmieniającym się od -π /2 do π /2. Przypuśćmy, że znamy energię oscylatora, ale nie wiemy nic ponadto. Przypadkowo wybieramy chwilę czasu t, i obserwujemy patrzymy czy nasz oscylator znajdzie się w przedziale pomiędzy x a x+dx. Prawdopodobieństwo znalezienia oscylatora w tym położeniu zależy od prędkości oscylującego punktu. Od tego bowiem zależy jak długo oscylator będzie w tym przedziale przebywał. Różniczkując x(t) = A sin t po t znajdujemy bezwzględną wartość prędkości
|v(t)| = A |cos t| = A √ (1-sin2 t) = A√ (1-x2/A2) = √ (A2-x2)
Czas przebywania oscylatora w przedziale (x,x+dx) wynosi więc:
dt = dx/|v| = dx/√ (A2-x2) .
Ponieważ całkowity czas obserwacji to pół okresu, czyli π , stąd gęstość prawdopodobieństwa klasyczna dana jest wzorem
P(x)dx = dx/ (π √ (2E - x2)
Położenie x zmienia się w klasycznych granicach pomiędzy -A i A. Łatwo sprawdzić, że całka z P(x) po tym przedziale daje 1, zatem P(x) może faktycznie służyć jako gęstość prawdopodobieństwa. Wraz ze zbliżaniem się do końców przedziału gęstość prawdopodobieństwa strzela do nieskończoności. Nic w tym dziwnego, bowiem na końcach przedziału oscylujący punkt zatrzymuje się i zaczyna zawracać, zatem patrząc na chybił-trafił tam też prawdopodobnie znajdziemy punkt. Przez środek przedziału, x=0, oscylator przechodzi bardzo szybko, tam go zastać to prawdziwa sztuka. Wykres jest widoczny na animacji, gdzie umieściłem te klasyczne wykresy gęstości prawdopodobieństwa łącznie z tymi przewidywanymi przez mechanikę kwantową.
Animacja jest przeskalowana tak, że klasyczne punkty powrotu to zawsze -1 i 1. Odpowiednio przeskalowana jest też oś pionowa, tak by całka z gęstości prawdopodobieństwa (pole pod wykresem) była zawsze równa 1.
