Z fizyki kwantowej można się czegoś nauczyć. Na przykład można się nauczyć nieposłuszeństwa. Fizyka klasyczna to wychowanie w ścisłym reżimie – są twarde prawa i albo się nim podporządkujemy, albo grozi nam banicja. W świecie kwantowym mamy większy margines wolności, kwantowy kierowca może, od czasu do czasu, popełnić wykroczenie, i mandat mu za to nie grozi. Podczas gdy prawa są niewątpliwie pożyteczne, to okresowe rebelie też mogą spełniać pożyteczną rolę. Kwantowy świat ma więcej wyrozumiałości niż świat klasyczny. Ceną za to jest mniej zrozumiałości.
W dzisiejszej notce przyjrzymy się kwantowemu „tunelowaniu”. Zobaczymy jak to kwantowy oscylator, taka kwantowa huśtawka, może przekraczać bariery zakazane w fizyce klasycznej. Będzie to kontynuacja notek poprzednich, przypomnę jednak, w skrócie, główne punkty, omijając to, co dla niniejszej notki nieistotne.
Najpierw oscylator klasyczny. Zaglądamy do Wikipedii pod „Ruch harmoniczny”.
Miast ciężarka na sprężynie możemy też myśleć o wahadle czy o huśtawce:
Dla niezbyt wielkich wychyleń można to zjawisko opisać jako ruch harmoniczny. Konkretne urządzenie ma swoją własną częstotliwość drgań, zależną od współczynnika sprężystości i od masy. W wahadle torsyjnym (skręty dysku na sprężystym włóknie) ważną rolę gra nie tyle masa ile moment bezwładności. Tak czy siak częstotliwość określona jest przez parametry samego układu. Amplituda drgań zależy jednak od tego ile pracy włożymy. Gdy huśtawkę popchniemy lekko – wychyli się nie wiele. Gdy popchniemy mocniej, dodając jej więcej energii, amplituda wychyleń wzrośnie. Oczywiście nie bierzemy pod uwagę „samorozhuśtywania” jak na filmie powyżej. To wyższa szkoła jazdy, zatem pytania typu: „czy w molekułach mieszkają małe ludziki co same mogą je rozhuśtać?” - odłóżmy na bok. Skupmy się raczej na pasywnych sprężynach i wahadłach.
Amplituda drgań, zatem maksymalne odchylenie od położenia równowagi, zależy od energii. W Wikipedii znajdujemy wzór:
Energia jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Amplituda jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z energii.
My pracujemy w jednostkach bezwymiarowych. Wybieramy więc, przy opisie naszego oscylatora, taki układ jednostek w którym częstość omega jest liczbowo równa 1, masa jest równa 1, współczynnik sprężystości jest równy 1. Potem dodamy do tego jeszcze: stała Plancka hbar = 1.
Przy takich umowach zależność pomiędzy energią E i amplitudą A dana jest wzorem
A = √ (2E)
Oscylator z energią E nie wychyli się nigdy, ale to nigdy, od położenia równowagi bardziej niż o A!
A jak to jest z oscylatorem kwantowym?
Z mechaniki kwantowej dowiadujemy się, że energia oscylatora nie może przybierać dowolnych wartości, jedynie wartości dyskretne, różniące się od siebie o „kwanty energii”. Wielkość tych kwantów zależy od częstotliwości drgań. My ustaliliśmy częstość drgań na równą jeden, stałą Plancka położyliśmy równą 1, zatem dla nas kwant energii naszego oscylatora to, liczbowo, 1. Jedynka to dość duża liczba, prawda? Jednak dla makroskopowych oscylatorów, wahadeł, huśtawek, energie które wkładamy, są w porównaniu z wielkością kwantów energii tak wielkie, że tych kwantów, tej dyskretności, nie zauważamy. Podobnie jak z filmem, gdzie szybko po sobie następujące klatki postrzegamy jako ruch ciągły.
Z mechaniki kwantowej dowiadujemy się też, że ze stanem oscylatora o energii n związany jest wektor stanu, funkcja falowa. Te funkcje falowe, stany własne operatora energii oscylatora, dane są formułami (patrz poprzednia notka):
Tutaj zmienna y to położenie (inaczej: wielkość odchylenia od położenia równowagi y=0). Energia oscylatora z n kwantami energii to n+1/2. Klasycznie, amplituda drgań oscylatora o n kwantach energii powinna więc wynosić
An = √ (2n+1)
Według mechaniki kwantowej gęstość prawdopodobieństwa zaobserwowania oscylatora w położeniu y jest równa kwadratowi modułu funkcji falowej.
Zrobiłem więc animację pokazując te gęstości prawdopodobieństwa dla n=0,1,...,40. W każdej z klatek tej animacji naniosłem też linią pionową, odpowiednią amplitudę oscylatora klasycznego. Oto ta animacja:
Quantum oscillator eigenstates. Probability densities with clasically forbidden region.
Widać z niej, że nasze funkcje falowe mieszą się w zasadzie w obszarze klasycznie dozwolonym, jednak mają też ogony poza ten obszar sterczące. Oznacza to, że choć nasz oscylator nie ma wystarczająco wiele energii by wychylić się poza pewne położenie (według praw fizyki klasycznej), to mamy niezerowe prawdopodobieństwo zaobserwowania wychylenia większego. Kwantowe rebelie!
Nasze funkcje falowe są unormowane. Pole pod każdym wykresem jest, numerycznie' równe jeden. Prawdopodobieństwo kwantowej rebelii dane jest prze pole powierzchni pod wykresem „ogona” Wyliczyłem te prawdopodobieństwa rebelii (inaczej: tunelowania) dla pierwszych stu poziomów energetycznych. Na wykresie tak to wygląda:
Quantum harmonic oscillator. Tunnelling probabilities for different energies.
Czym większa energia, tym bardziej oscylator wydaje się być posłuszny prawom fizyki klasycznej. Wyliczyłem prawdopodobieństwo przetunelowania do obszaru klasycznie zabronionego dla n=500, wyszło 0.0168499 To wciąż więcej niż 1%. Jakie będzie to prawdopodobieństwo dla n=1000000? Jakie dla n = 1010? Nie wiem, nie umiem wyliczyć. Już dla wyliczenia dla n=500 trzeba całkować wielomian stopnia 1000 mnożony przez funkcję eksponencjalną. Nie mogłem też nigdzie znaleźć ani asymptotycznej formuły ani szacowań. W podręczniku Atkin's et al, „Quanta, Matter, and Change. A molecular approach to physical chemistry”, na str. 66 znalazłem jedynie taką uwagę:
„Prawdopodobieństwo znalezienia się poza klasycznie dozwolonym obszarem szybko spada wraz ze wzrostem n, i zbliża się do zera gdy n zmierza do nieskończoności (…). Oscylatory makroskopowe (jak w przypadku wahadła) są w stanach o wielkich liczbach kwantowych, zatem prawdopodobieństwa znalezienia się w klasycznie zabronionym obszarze jest tam całkowicie do zaniedbania. Jednak molekuły znajdują się zwykle w swych podstawowych stanach oscylacyjnych, i dla nich to prawdopodobieństwo jest znaczące.”
Z mojego obrazka widać, że miast „szybko spada wraz ze wzrostem n”, jak twierdzą autorzy, mamy raczej „wolno spada”. A jak wolno? Czy coraz wolniej? Czy też się tam, w skali logarytmicznej, jakoś stabilizuje, na jakimś tempie spadania? Tego nie wiem. I nie wiem czy ktoś to wie.
