Muzyka i teoria kwantów mają wiele wspólnego. I tu i tam mamy „fale”, mamy „kwanty”, mamy harmonię i możemy mieć chaos. Od pewnego czasu piszę o wybranych detalach kwantowego krajobrazu. Dla kogo to piszę? Oto jest pytanie. Po trochę dla tych co już trochę teorii kwantów liznęli. Zawsze dobrze sobie to i owo przypomnieć. Trochę dla samouków, bo wybieram takie fragmenty, które można, teoretycznie, zrozumieć, niezależnie od całej reszty „teorii”. Oczywiście piszę też dla samego siebie – bo to o czym piszę wiąże się, czasem daleko a czasem blisko, z tym co mnie aktualnie interesuje, co mam na warsztacie.
Wspomniałem o „samoukach”. Otóż od niedawna sam stałem się takim samoukiem – w muzykowaniu. No i zbieram samouka doświadczenia. Na przykład aktualnie: pracuję nad łatwą częścią „Dla Elizy” Beethovena. Co zauważyłem: otóż zauważyłem, że bez nauczyciela jest trudno przejść przez pewien próg. Potrafię zagrać jakiś fragment z jedym tempem, a przyśpieszyć już nie mogę. Choć powinienem. Zacząłem analizować w czym problem. Nuty są, mówią o tym co winno się w każdej chwili zagrać i jak. Ale nuty nie mówią o tym jak powinny poruszać się ręce w czasie grania. Do pewnego momentu jest to mało istotne. Jest jednak pewien próg prędkości i jakości, którego bez opanowania odpowednich ruchów rąk i palców w czasie grania przekroczyć nie sposób. Nauczyciel, obserwując, doradzi i poprawi. Samoukowi, nawet zdolnemu, na to wpaśc trudno. No, chyba, że się urodził z wrodzonym talentem, taki drugi Chopin czy Mozart.
Wracając do samouctwa kwantowego. W ostatniej notce wprowadziłem „stany koherentne”. Wprowadziłem je może nieco za szybko, bo wciąż jeszce warto bliżej się przyjrzeć stanom o oscylatora o określonej energii: „kwantom”.
W notce Kwantowe górki i pagórki przyglądaliśmy się czterem pierwszym takim stanom, opisywanym, w reprezentacji położeniowej, funkcjami falowymi
W samej rzeczy, można podać ogólną formułę na stan z numerkiem n. Kopiując z witryny Hyperphysics:
Połóżmy alpha =1, zastąpmy y przez x, i mamy formułę. Funkcje Hn to tzw. wielomiany Hermite'a. Pierwsze siedem takich wielomianów można nawet znaleźć w naszej polskiej Wikipedii: Wielomiany Hermite'a. Wielomian z numerkiem n jest n-go stopnia. Wielomiany z n parzystym mają jedynie parzyste potęgi x, wielomiany z n nieparzystym mają jedynie nieparzyste potęgi n. Istnieje rekurencyjna formuła na wyliczanie kolejnych wielomianów:
Zatem nasze funkcje falowe dość łatwo wszystkie wyrachować. To wielomiany Hermite'a tłumione przez funkcję eksponencjalną (gaussowską).
Wyliczyłem więc, namalowałem, i przedstawiłem na animacji kwadraty modułów pierwszych czterdziestu kolejnych funkcji falowych. Ponieważ nasze funkcje falowe mają wartości rzeczywiste, wystarczyło wziąć kwadraty.
Według standardowej interpretacji z podręczników mechaniki kwantowej poniższe wykresy reprezentują „gęstośc prawdopodobieństwa” znalezienia oscylatora w danym punkcie na osi x, gdy znamy jedynie jego energię ( a ta dana jest wzorem)
Oto moja animacja:
Chcielibyśmy zrozumieć co się tu dzieje. Czemu te wykresy są takie a nie inne?
I tym się zajmiemy w kolejnej notce.
P.S. Jedna z rysowanych funkcji wyszła z felerem, bo wziąłem zbyt mało punktów na krzywej do malowania. To feler numeryczny. Niech już zostanie, jako ostrzeżenie.
