Nowy rok zaczął się u mnie od przystanku. Kwantowego przystanku. Bowiem po sylwerstrowym karaokowaniu
i muzykowaniu w którym ja, jako muzyczny analfabeta, uczestniczyłem jedynie jako fotograf, opanowała mnie myśl, że naprawdę chcę się nauczyć muzyki i muzykowania. Czytanie książek i ćwiczenia jakoś mało mnie podniecają, wynalazłem więc, po poszukiwaniach, kurs gry w internecie, który mi się spodobał. Nazywa się to-to PianoMarvel.
Zapisałem się więc na miesięczny darmowy kurs. Po miesiącu trzeba już co miesiąc płacić. Więc chcę ten darmowy miesiąc wykorzystać jak najefektywniej. W sumie jest tej próbnej paczce 30 poziomów, każdy poziom to ok. 40 ćwiczeń. Podłączyłem moją klawiaturę do laptopa, laptop do internetu i zabrałem się do roboty.
Oczywiście miałem trochę technicznych problemów, MIDI nie chciało działać, Java była nie taka jak trzeba, nie rozumiałem instrukcji itd. Teraz już chyba główne problemy pokonałem i powinno pójść z górki. Z trzydziestu poziomów mam za sobą trzy – na razie prymitywne, ale to i dobrze, bo na prymitywnych poziomach łatwo odnosić sukcesy!
Mając techniczne problemy za sobą i ulokowawszy się na dobrze określonej drodze możemy teraz wrócić do kwantów. Też na prymitywnym poziomie.
W ostatniej notce przyglądaliśmy się stanom stacjonarnym kwantowego oscylatora harmonicznego, stanom o ściśle określonej, skwantowanej energii. Jeszcze do nich wrócimy, bo temat daleki od wyczerpania, ale teraz przyjrzymy się innym stanom tegoż oscylatora, też sławnym, a może jeszcze sławniejszym niż te dyskretne stany energetyczne. Póki co nie będę ich nazywał ich imieniem. Kto wie – to i dobrze. Kto nie wie – ten się wkrótce dowie.
Stany energetyczne, w reprezentacji poprzez funkcje holomorficzne, dane były prostymi formułami:
Fn(z) = zn/√(n!), n=0,1,2,...
Jest ich przeliczalnie wiele, numerowane są dyskretnym parametrem n=0,1,2,... Czym większe n, tym większa energia oscylatora. Dla n=0 mamy stan podstawowy, „próżnię”. To funkcja tożsamościowo równa 1. Wprowadzimy teraz inną rodzinę stanów, numerowaną ciągłym zespolonym parametrem w = u + iv. Zdefiniujemy je tak:
Fw(z) = exp( √2 wz ) / exp( u2+v2 ).
Zauważamy, że są to porządne funkcje holomorficzne. Funkcję eksponencjalną łatwo różniczkować. Widzimy, że
dFw(z)/dz = √2 w Fw(z)
Rózniczkowanie to operator anihilacji z poprzednich notek, czyli jakby odebranie od stanu jednego kwantu energii. Otóż nasze stany mają ciekawą własność: gdy się od takiego stanu odbierze kwant energii, stan się nie zmienia. Funkcja zostaje nadal ta sama, tyle, że pomnożona przez stały współczynnik.
Wyjątkiem jest stan z w=0, kiedy to nasz stan pokrywa się ze stanem podstawowym oscylatora.
Co to za dziwne stany, które są tak odporne na odbieranie im kwantów energii? Widać mają tych kwantów nieskończenie wiele i to tak dobranych, że pojawia się niemal kompletna odporność? Stany te nazywają się stanami koherentnymi. Nimi zajmiemy się w kolejnych notkach.
Jeszcze uwaga: ten mianownik exp( u2+v2 ) w definicji jest po to, by nasza funkcja miała normę 1 w przestrzeni Segala-Bargmanna.
