Pod koniec ubiegłego roku zapuściliśmy się w holomorficzne kwantowe lasy. Jednak bez przewodnika tam łatwo pobłądzić. Roślinność tam dziwna, kwiaty, gdy się rozwiną, strzelają w nieskończoność. Choć holomorficzne, jakieś mało pociągające. Co innego w dobrze nam znanych lasach ojczystych, tam grzybów od metra, choćby i czasem niezjadalnych i niemierzalnych.
Rzecz jednak w tym, że te kwantowe holomorficzne lasy są jedynie holograficznymi kodami tych dobrze nam znanych. A hologramy trzeba po prostu umieć odkodowywać. I tym się dziś zajmiemy.
Przypomnę. Holomorficzna przestrzeń Hilberta, oznaczana czasem symbolem HL2(C,m), składa się z super-gładziutkich holomorficznych funkcji F(z), od zmiennej zespolonej z = x+iy, no i takich, które są całkowalne z kwadratem z wagą m, gdzie ( patrz notka Kwantowe integralne niestrawności)
dm(z) = dm = (1/π) exp(-|z|2) dz = (1/π) exp(-(x2+y2)) dx dy
Innymi słowy: jesteśmy w przestrzeni Segala-Bargmanna. Jak stąd przejść do zwykłej przestrzeni Hilberta z podręczników mechaniki kwantowej? Wikipedia nam tu niewiele pomaga. Owszem jest tam rozdział The Segal–Bargmann transform, jest nawet jakby potrzebna nam formuła,
jednak Wikipedia nie jest jasna w tym punkcie i szybko okazuje się, że potrzebna nam jest inna formuła. Tą inną formułę można znaleźć kombinując dwie formuły z pracy Halla o której wspomniałem pod poprzednią notką. Co i zrobiłem. Przejście of funkcji holomorficznych do zwykłych kwantowo-mechanicznych funkcji falowych psi dane jest taką oto formułą całkową:
Wygląda bardziej skomplikowanie niż ta elegantka z Wikipedia, ale za to nam pasuje jak ulał. A sprawdzamy to tak: bierzemy funkcje Fn naszej dobrze już znanej bazy ortonormalnej w przestrzeni HL2(C,m):
Fn(z) = zn/√(n!), n=0,1,2,...
no i używając naszej formuły całkowej znajdujemy odpowiednie funkcje ψ n(x). Do liczenia całek dobrze jest użyć jakiegoś programu. Ja używam programu Mathematica. Oto wyniki:
Sprawdzamy, czy jesteśmy w zgodzie z resztą ludzkości. Idziemy na stronę
Quantum Harmonic Oscillator: Wavefunctions i widzimy, że mamy to samo co ma reszta ludzkości – pod warunkiem, że uświadomimy sobie, że nasze x jest bezwymiarowe, czyli nasze x to ichnie y. No i nasze funkcje falowe są też bezwymiarowe. By dodać im wymiary fizyczne trzeba pomanipulować troszkę stałymi: masą oscylatora, jego częstotliwością, no i stałą Plancka. Na razie tym się nie będziemy przejmować. Sam fakt bycia w jednej grupie z resztą ludzkości daje nam poczucie bezpieczeństwa.
Pod wyżej wskazanym linkiem można też znaleźć wykresiki funkcji i ich kwadratów.
Zauważmy, że nasze funkcje, a reprezentują one po kolei podstawowy i kolejne stany wzbudzone oscylatora, są wszystkie rzeczywiste. Bieg czasu będzie tylko zmieniał ich globalną fazę, nic więcej.
Chciałoby się jednak zrozumieć co znaczą te górki i pagórki? Tym się dalej zajmiemy.
