Piszę ostatnio o pięknej przestrzeni w której można realizować stany kwantowo-mechanicznej cząstki – przestrzeni Focka-Segala-Bargmanna. Na pierwszym miejscu stoi Fock, bo on był pierwszy. Można by to po prostu przyjąć do wiadomości, ale można też na rzecz spojrzeć nostalgicznie. Kto to ten Fock? W rosyjskiej Wikipedii znajdujemy:
Влади́мир Алекса́ндрович Фок (1898 — 1974) — советский физик-теоретик. Академик АН СССР (1939; член-корреспондент с 1932 года).
Akademik, sowiecki fizyk teoretyk. Bardzo słynny, zrobił wiele nowego tak w teorii grawitacji jak i w fizyce kwantowej. I co jeszcze? Jak już historia, to historia: zaglądamy do rosyjskiej Wikipedii znów, tym razem pod hasło „Sprawa Pułkowska”. Dowiadujemy się stamtąd jak to Stalin zarządził masowe represje uczonych, nie spodobały się bowiem ówczesnej władzy podejrzane kontakty uczonych sowieckich (a rzecz się zaczęła od obserwatorium astronomicznego w Pułkowie) z uczonymi z zagranicy. Znajdujemy w Wikipedii listę kilkudziesięciu nazwisk represjonowanych uczonych, wśród nich także Фок.No, nic dziwnego, drukował swe prace w niemieckich czasopismach. Napisałem „represjonowanych”. To eufemizm, gdy spojrzymy na tabelkę, znajdziemy tam raz po raz „Расстрелян”, „rozstrzelany” lub „ Умер в тюрьме” - „zmarł w więzieniu”.
Fokowi się udało, siedział tylko kilka dni, bowiem za niego wstawił się u Stalina Kapica.
Tyle dla rozgrzewki. Wracamy do kwantowej rzeczywistości, a raczej zespoloności.
W notce Ku kwantowej teorii przyszłości pojawiły się piękne macierze operatorów kreacji a* i anihilacji a (lub bardziej po polsku: tworzenia i niszczenia)
Operatory a i a* spełniają podstawowe relacje przemienności (odmiana relacji Heisenberga)
[a,a*] = aa* - a*a = I
gdzie I jest operatorem jednostkowym.
Może nie dla wszystkich są piękne, dla mnie są. Dobierzemy się dziś od nich od innej strony, od strony równie jeszcze piękniejszych funkcji holomorficznych dyskutowanych w poprzedniej notce. Wprowadziliśmy tam przestrzeń HL2(C,m) funkcji holomorficznych od zmiennej zespolonej z, całkowalnych z kwadratem względem miary
dm = (1/π) exp(-|z|2) dz = (1/π) exp(-(x2+y2)) dx dy.
W przestrzeni tej można bardzo elegancko wprowadzić operatory kreacji i anihilacji jako operatory mnożenia przez zmienną z i różniczkowania po zmiennej z:
(a* F) (z) = z F(z)
(a F)(z) = dF(z)/dz = F'(z)
To, że operatory te spełniają potrzebne nam relacje przemienności wynika z reguł różniczkowania. Weźmy funkcję F. Podziałajmy najpierw kreatorem a*, dostajemy zF(z). A teraz podziałajmy na wynik anihilatorem a, czyli różniczkowaniem. Mamy do zróżniczkowania iloczyn, no to różniczkujemy
d(zF(z))/dz = dz/dz F(z) + z dF/dz = F(z) + zF'(z)
Czyli
(aa*F)(z) = F(z) + zF'(z)
A teraz na odwrót, najpierw działamy na F anihilatorem, dostajemy F'(z), potem na wynik działamy kreatorem, dostajemy zF'(z).
Czyli
(a*aF)(z) = zF'(z)
Zatem, odejmując:
(aa* - a*a)F(z) = F(z) + zF'(z) -zF'(z) =F(z).
Czyli aa* - a*a w działaniu na F daje to samo F, jest operatorem tożsamościowym. Mamy więc
[a,a*] = 1, jak trzeba. Nic prostszego wyobrazić sobie nawet nie można.
No to mamy operatory kreacji i anihilacji. Są to operatory liniowe. A każdy operator liniowy, w bazie, można przedstawić jako macierz. Ćwierkają o tym nawet w Wikipedii. Przypomnę mądrą definicję z Wiki, ze strony Macierz przekształcenia liniowego. Tak tam mądrze piszą:
Przestrzeń mamy, przekształcenia liniowe a i a* mamy, bazę też mamy, nawet ortonormalną, tą z poprzedniej notki:
Fn(z) = zn/√(n!), n=0,1,2,...
Zostawiam jako ćwiczenie sprawdzenie, że w bazie tej macierze naszych operatorów a i a* to nic innego niż te macierze w ramce!
Nasza baza jest nie byle jaką bazą, jest bazą ortonormalną. Z tego powodu, z faktu, że macierze a i a * są hermitowsko sprzężone jedna do drugiej, wynika, że i operatory a i a* są hermitowsko sprzężone jeden do drugiego, względem iloczynu skalarnego w naszej przestrzeni. Można to zresztą sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, korzystając z postaci iloczynu skalarnego z miarą m.
Wszystko się zatem zazębia. Możemy jechać dalej i zacząć wiązać czystą matematykę z fizyką oscylatorów harmonicznych. Czym się zajmiemy w kolejnych notkach.
