Ta notka jest dla tych co się przejedli w Święta i chcą od przejedzenia odpocząć patrząc na inne niestrawności. Z drugiej strony jest to kontynuacja notek poprzednich. Nie ma tu żadnej fizyki. Jest czysta matematyka. Choć, z drugiej strony, kto wie, może Przyroda to matematyka i to jeszcze czystsza niż ta nasza!
Przypomnę o co idzie. Otóż standardowa realizacja funkcji falowych mechaniki kwantowej, poprzez klasy funkcji od zmiennych przestrzennych może budzić u niektórych (także u mnie) dolegliwości żołądkowe. Owszem, zawsze można wziąć pigułkę znieczulającą na bóle, można wypić miętę, ale można się też rozejrzeć za innym rodzajem posiłku.
Otóż istnieje inna reprezentacja podstawowych wielkości mechaniki kwantowej: reprezentacja holomorficzna Segala-Bargmanna (a przed nimi Focka). Pisałem o tym w dwóch poprzednich notkach. Dziś trochę rozwinę. Nie za dużo jednak, by się znów nie przejeść.
Najpierw jednak przypomnę. Nasze funkcje falowe są określone na płaszczyźnie zespolonej. Mamy tam zmienną zespoloną z = x+iy, gdzie x i y są rzeczywiste. Na płaszczyźnie tej definiujemy miarę m:
dm = (1/π) exp(-|z|2) dz = (1/π) exp(-(x2+y2)) dx dy
Interesuje nas przestrzeń funkcji holomorficznych, całkowalnych z kwadratem względem miary m. Czasem przestrzeń tą oznacza się symbolem HL2(C,m).
Kwadrat normy i iloczyn skalarny dla takich funkcji definiowany jest jako (patrz notka Światło - Klucz i energia wszechświata )
Zajmujemy się przypadkiem jednego stopnia swobody, kładziemy więc n=1. Nasze funkcje winny być nie tylko całkowalne z kwadratem, ale także holomorficzne. W tym wymaganiu holomorficzności jest i piękno i siła. Więc trochę przypomnijmy o co tu idzie.
Funkcja holomorficzna w całej płaszczyźnie (czasem nazywa się takie funkcje funkcjami całkowitymi) winna mieć pochodną po z w każdym punkcie. To bardzo silne założenie. Implikuje ono, w szczególności, spełnienie warunków Cauchy-Riemanna. Funkcję F od jednej zmiennej zespolonej z można traktować jako funkcję od dwóch zmiennych rzeczywistych x i y. Z kolei samo F(z) ma wartości zespolone, ma więc część rzeczywistą i urojoną:
F(z) = u(x,y) + i v(x,y)
Gdy F jest holomorficzna, to u i v spełniają równania:
Na odwrót, jeśli mamy u i v różniczkowalne w sposób ciągły i jeśli spełniają one warunki Cauchy-Riemanna, to F = u+iv jest holomorficzna. Tego uczą na początku każdego kursu analizy zespolonej.
W ostatniej notce wspomniałem, że funkcje
Fn(z) = zn/√(n!), n=0,1,2,...
tworzą bazę ortonormalną w naszej przestrzeni. Zatem, dla ćwiczenia, sprawdźmy, że te funkcje tworzą układ ortonormalny. Trzeba więc pokazać, że dla każdego n=0,1,2,... norma (równoważnie: norma w kwadracie) jest równa 1, zaś różne funkcje są wzajemnie ortogonalne. Najlepiej robić to w biegunowym układzie współrzędnych. Kładziemy więc
z = r exp( iφ )
lub
x = r cos φ
y = r sin φ
Wtedy
dz = dxdy = r dr dφ
Mamy
|Fn(z)|2= r2n/n!
Obliczyć ||Fn(z)||2 to obliczyć całkę
Teraz już można zajrzeć do Wikipedii, do tablicy całek List of integrals of exponential functions, znaleźć
Interesuje nas pierwsza linijka, podstawić co trzeba, zajrzeć co to jest ta Gamma (Gamma function), i już normę mamy z głowy.
Wzajemna ortogonalność rożnych funkcji wynika jeszcze prościej, bo wynika z faktu, że funkcja exp (ik φ), dla całkowitych k, całkowana po całym okresie daje zawsze zero.
Przyjmijmy do wiadomości, że nasz ortonormalny układ funkcji Fn tworzy układ zupełny w naszej przestrzeni, tworzy bazę ortonormalną.
Fizycznie, jak jeszcze zobaczymy, można te funkcje interpretować jako stany stacjonarne dla oscylatora harmonicznego, stany o określonej (i skwantowanej) energii.
W samej rzeczy, żądanie by nasze proste funkcje Fn tworzyły bazę ortonormalną jednoznacznie określa postać iloczynu skalarnego w naszej przestrzeni. Ta funkcja eksponencjalna w iloczynie skalarnym jest więc nie bez powodu: chcemy mieć prostą bazę ortonormalnymi, płacimy za to komplikacją w iloczynie skalarnym. Nic za darmo nie ma.
W kolejnej notce przyjrzymy się operatorom kreacji i anihilacji – te są u podstaw kwantowych magii. Potem zajmiemy się interpretacją fizyczną – poprzez położenia i pędy.
