Moje pierwsze kwantowanie miało na imię Basia – taki był tytuł notki z 28-go listopada. Było to trzy tygodnie temu. W międzyczasie pisałem o świetle, bo swiatło jakoś mnie ciągnie. I bodaj każdego ciągnie. Jest światło i jest mrok. W samej rzeczy „Światło i mrok” Charlesa Percy Snow było książką, która przyciągnęła mnie do fizyki. Choć rozgrywki polityczne opisane w tej powieści powinny mnie było od zinstytucjonalizowanej nauki odepchnąć.
Powróćmy do światła i do kwantownia. We wspomnianej notce o kwantowaniu pisałem:
Macierze pędu P i położenia Q można wyrazić przez proste i piękne nieskończone macierze a i a* (patrz Ech, te macierze) wzorami (patrz Ku kwantowej teorii przyszłości, (36),(37)):
Q = sqrt(hbar/2m ω) (a*+a)
P = i sqrt(hbar m ω/2) (a* - a)
Operatory pędu i położenia wyważają się tu przez operatory a i a*. Operator a nazywamy operatorem anihilacji (kwantu), operator a* nazywamy operatorem kreacji. Lub inaczej: operatory a i a* to operatory niszczenia i tworzenia.
Można za pierwotne przyjąć a i a*, można też za pierwotne przyjąć P i Q. Jednak związek pomiędzy jednymi i drugimi zawiera masę m, zaś dla fotonów „masa” to rzecz podejrzana. Tak długo jak długo zajmujemy się oscylatorami mechanicznymi czy elektrycznymi, tak długo formuły powyższe można przełknąć. Dla fotonów jednak wydają się być podejrzane.
Jak zatem opisać fotony? Niby można je uważać za cząstki, ale nie do końca. Są od cząstek bardziej nieuchwytne. Ich „położenia” są podejrzane. Zanim zabierzemy się za kłopotliwe fotony lepiej wpierw poznać nieco bliżej kwantowe oscylatory mechaniczne.
Według przykazań pochodzących z kwantowej Biblii potrzebna nam jest „przestrzeń Hilberta”, a w niej operatory P i Q. Heisenberg podawał P i Q w postaci (nieskończonych) macierzy. Schrodinger poszedł inną drogą. Dla Schrodingera punktem wyjścia były fale. Falami też pasjonował się de Broglie. Pójdźmy zatem ich śladem.
Dla zilustrowania problemu wystarczy nam jeden wymiar: fala-cząstka na linii prostej. Dodanie drugiego i trzeciego wymiaru możemy odłożyć na potem. Dla Schrodingera przestrzeń Hilberta to przestrzeń funkcji falowych ψ (x), gdzie x jest punktem na prostej. We współrzędnych x jest po prostu liczbą rzeczywistą. Jednak wartości ψ (x) funkcji falowej są liczbami zespolonymi. Inaczej nam nie wyjdzie.
W tej przestrzeni funkcji falowych trzeba zdefiniować iloczyn skalarny. Zazwyczaj definiuje się go tak:
Gwiazdka oznacza sprzężenie zespolone Pojawiła się też całka. Ta całka mogłaby nie istnieć, trzeba się przed tym problemem zabezpieczyć. Dlatego ograniczamy się do funkcji „całkowalnych z kwadratem”, tzn. takich dla których
||ψ||2= <ψ,ψ> jest skończone.
Operatory położenia i pędu definiujemy jako
(Qψ)(x) = xψ(x)
(Pψ)(x) = -i hbar ψ'(x)
gdzie prim oznacza pochodną. Operator położenia to operator mnożenia przez zmienną x. Operator pędu jest proporcjonalny do operacji różniczkowania po tej zmiennej. Te dwie operacje nie są przemienne:
[Q,P] = i hbar,
jak tego chce kwantowa Biblia.
Jednak kwantowa Biblia chce „przestrzeni Hilberta”. Jednym z przykazań jest : jak norma wektora równa się zero, to i wektor jest zerowy. To przykazanie jest naruszone. Funkcja równa zeru wszędzie na osi x, z wyjątkiem jednego punktu, powiedzmy x=0, gdzie ma wartość 1, taka funkcja ma normę zero, bo jeden punkt w całce się nie liczy. Ale przecież nie jest to funkcja zerowa!
Co zrobić? Zamieść pod dywan? Żyć w grzechu? Czy też sprytnie prawo ominąć znajdując w nim lukę. Ot i mamy moralny dylemat. Święta się zbliżają, czas iść do spowiedzi. Uczynimy to w następnej notce.
