Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
1557
BLOG

ABCD optyki

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 28

Optyka to nie tylko nauka, nie tylko rzemiosło, to także sztuka. Sztuka stara jak świat, stara jak światło. Prometeusz przyniósł ludziom ogień, a ogień to też światło. Nie darmo mówimy o ludziach oświeconych.

Sam się optyki dopiero douczam, w mroku, do oświecenia mi daleko. Uczę się optycznego ABCD. Szczęśliwie, dzięki internetowi, nie jest to aż tak trudne. Z pomocą przyszedł mi student UJ, Mikołaj Gołuński, który był laureatem konkursu na projekt w programie Mathematica:

Konkurs na projekt w Mathematice - Wręczenie nagród i krótkie referaty zwycięzców

Podczas seminarium, które odbyło się 18 grudnia 2013 w Instytucie Fizyki UJ, wysłuchaliśmy ciekawych wystąpień laureatów tegorocznego konkursu. Swoje prezentacje przedstawili:

Mikołaj Gołuński Symulacja toru optycznego z wykorzystaniem formalizmu ABCD

prezentacja :: poster

Oto i nasz młody laureat

Mikołaj Gołuński

Mikołaj Gołuński

otrzymuje laurkę:

Mikołaj Gołuński

Z czyich rąk? Tego nie wiem. Niestety samego kodu programu nie znalazłem w sieci. Będziemy się musieli obejść bez tego. Będziemy improwizować.

Co to takiego to ABCD optyki?

W nagrodzonym posterze czytamy:

Tor optyczny może składać się z wielu różnorodnych elementów optycznych.

Narzędzie do symulowania zachowania się promienia w torze optycznym wydaje

się być przydatne. Do tego celu idealnie nadaje się formalizm ABCD.

Dalej jest wyjaśnienie

Formalizm ABCD pozwala przedstawić elementy optyczne jako macierze 2x2.

Cały tor optyczny powstaje wtedy przez wymnożenie odpowiednich macierzy.

Macierze 2x2? O to już się ocieraliśmy nie raz. Co mają wspólnego z optyką? I dlaczego 2x2? Czemu nie 3x3. Albo czemu nie 6x6?

I tu trzeba wrócić do przeszłości, do wspomnień.

Jest wiek XVII. Optyka się świetnie rozwija. Na rynku optycznym panuje Huygens. W Wikipedii znajdujemy:

Christiaan Huygens (ur. 14 kwietnia 1629 w Hadze, zm. 8 lipca 1695 tamże) – holenderski matematyk, fizyk oraz astronom. Syn Constantijna Huygensa.

I dalej:

Huygens był jednym z pierwszych myślicieli, którzy wysunęli ideę życia pozaziemskiego. W swojej książce Odkrycie niebieskich światów: spekulacje dotyczące mieszkańców, roślin i wytworów światów pośród planet wyobraził sobie wszechświat jako tętniące życiem miejsce. Wyobrażał sobie planety pełne pozaziemskich istot, które tak jak ludzie na XVII-wiecznej Ziemi budują swoje cywilizacje.

No nie, to nie o to idzie. W oczach Eine to go z pewnością przekreśla, razem z całą jego falową naturą światła! Idzie o to, że:

Na polu fizyki prowadził szereg prac dotyczących optyki. Sformułował zasadę Huygensa, która mówi o rozchodzeniu się fal w pobliżu przeszkód. Jego doświadczenia potwierdzały teorię o falowej naturze światła. Badał również zjawisko załamania światła w różnych materiałach.

Huygens odniósł niezwykłe sukcesy propagując naukę o falowej naturze światła. Sukcesy jednak uderzają do głowy, deprawują. Nawet znakomitych skądinąd uczonych. A może to myśli o życiu pozaziemskim uderzyły mu do głowy?

Tak czy inaczej, gdy Pierre Fermat pisał do Huygensa o swojej zasadzie, jak to można prosto wyrachować bieg promienia światła w ośrodku stosując zasadę ekstremalnego czasu biegu promienia, to Huygens nawet nie raczył odpowiadać. Nie interesowało go to, bo przecież światło to fale a nie jakieś tam „promienie”. W dodatku, ponieważ Fermat był matematykiem, i nie miał ochoty do upraszczania swego formalizmu, Huygens uważał, że studiowanie prac Fermata byłoby jedynie stratą czasu, zresztą Huygens podejrzewał, że na pewno musi być tam jakiś błąd, bo światło to fale, i tyle!

Dziś zasada Fermata stoi u podstaw optyki geometrycznej, w swym uogólnieniu, jako „zasada najmniejszego działania” wkradła się do mechaniki, do fizyki kwantowej, do całej fizyki, nawet psy jej używają! Stoi też u podstaw formalizmu ABCD

ABCD

ABCD Anybody Can Dance

choć ja tę zasadę ominę i przejdę wprost do sedna problemu.

W układach optycznych ważną rolę odgrywają soczewki. Soczewkami bawił się chyba każdy:

Bywają wypukłe i wklęsłe

bywają wklęsło-wypukłe. Układ optyczny, w ogólności, może być czymś bardzo skomplikowanym. Tak jak ten z prezentacji pana Mikołaja

Tor optyczny może być bardzo skomplikowany:

 

Jednak soczewki są zawsze obrotowo symetryczne, ich powierzchnie są najczęściej wycinkami sfery, zaś ustawiane są prostopadle do osi optycznej.

I dlatego optykom do szybkiego modelowania biegu promieni świetlnego przechodzącego przez układ soczewek wystarczają dwa wymiary. Jeden wzdłuż osi optycznej, zwykle jest to oś z, drugi prostopadle do osi, zazwyczaj y. Interesują nas wtedy promienie leżące w jednej płaszczyźnie przechodzącej przez os optyczną. Oś optyczną przecinamy płaszczyzną do niej prostopadłą, przechodzącą, powiedzmy, przez z = z1. Wtedy z każdym interesującym nas promieniem możemy związać parę liczb: (q,θ) - jak na obrazku poniżej:

Problem polega zwykle na tym, że znamy promień wejściowy, zazwyczaj w punkcie z=z1, gdzie promień opisywany jest przez (q1,θ1). Ten promień przechodzi przez układ optyczny, chcemy znać (q2,θ2) dla z=z2.

W sumie jest to problem dość skomplikowany, staje się jednak prosty gdy zrobimy kilka upraszczających założeń. Najważniejsze z nich to ograniczenie się do ośrodków o stałych współczynnikach załamania i do małych kątów. W praktyce kąty niekoniecznie są małe, niemniej takie założenie pozwala na wymodelowanie układu optycznego w wystarczającym przybliżeniu by zrozumieć zasadę działania i działający układ zbudować. Na poprawki i udoskonalenia, pozbycie się różnych aberracji – na to jest czas potem.

Dla małych kątów możemy zastąpić sin θ i tan θ po prostu przez θ. Cały układ optyczny sprowadza się teraz do algebry macierzy. I tak właśnie zaprojektowali swój maskujący układ optyczny chłopcy z Rochester o czym było w poprzedniej notce. Pójdziemy ich śladem. Do tego potrzebne nam macierze ABCD. Czemu ABCD? Bo macierz 2x2 ma cztery klatki, a w nie możemy wpisać cztery kolejne litery

a b

c d

I tak się to w optyce przyjęło. Wystarczy teraz nauczyć się jak budować macierz abcd dla każdej danej soczewki, a także dla „braku soczewki”. Zacznijmy od „braku soczewki”. Powiedzmy, że pomiędzy z1 i z2 mamy ośrodek o współczynniku załamania n.

Warto pamiętać, że współczynnik załamania n związany jest z prędkością światła v w danym ośrodku wzorem

n = c/v (c prędkość światła w próżni)

Dla powietrza przyjmujemy, w wystarczającym tu przybliżeniu, n=1. W ośrodkach istotnie gęstszych od powietrza, jak szkło, mamy v<c, zatem n jest tam większe od jedności. Nawet w powietrzu współczynnik załamania zależy od gęstości, stąd różne ciekawe fatamorgany, to jednak zostawmy na boku.

Przykładowo tabelka z Wikipedii:

ośrodek

wsp. załamania

próżnia

1

hel

1,000035

powietrze (1013 hPa, 20°C)

1,0003

woda

1,33

lód

1,310

alkohol etylowy

1,37

heksan

1,38

dwusiarczek węgla

1,63

jodek metylu

1,74

topiony kwarc

1,46

szkło crown

1,50-1,54

szkło flint

1,66

chlorek sodu

1,53

diament

2,417

rutyl[2]

2,616; 2,903

plexiglas

1,489

Zatem promień startuje w z1, podąża w dodatnim kierunku (w prawo), startuje z (q1,θ1), przecina płaszczyznę z=z2. Jakie będą tu (q2,θ2)?

Ponieważ zakładamy, że cały czas mamy do czynienia z ośrodkiem jednorodnym, żadnych załamań nie będzie, promień zachowa swój kierunek,

kąt θ2 będzie taki sam jak θ1, zmieni się jedynie q. Ale jak?

Dwie szkoły

Tu w optyce mamy dwie szkoły budowania macierzy abcd. Jedna szkoła za zmienne podstawowe uważa (q,θ). Druga szkoła, zarażona bakcylem symplektycznym, za zmienne podstawowe uważa (q,p), gdzie p = nθ. Tutaj okaże się, że nasze macierze abcd są symplektyczne (mają wyznacznik ad-bc = 1).

Ponieważ ja sam jestem zarażony bakcylem symplektycznym, pójdę śladem tej drugiej szkoły. Na razie nie będzie to miało znaczenia, jednak gdy przejdziemy do macierzy opisujących soczewki, wtedy pojawią się różnice. Jednak ponieważ na początku i na końcu mamy zwykle n=1, zatem różnice są jedynie w środku, końcowa macierz będzie ta sama.

Konkretną postacią macierzy abcd dla „braku soczewki” i dla soczewki zajmiemy się jednak dopiero w kolejnej notce. Potem zaczniemy analizować proste układy optyczne, interesować nas będzie, w szczególności, ten „maskujący”.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie