Notka dzisiejsza jest odpowiedzią na pytanie zadane w poprzedniej notce „Czy fotony myślą?”. Owszem, myślą, tylko nie wiemy jak to robią. Inaczej mówiąc: są przemyślne! Pies Elvis z poprzedniej notki też myśli, jednak ma najwyraźniej z tym pewne kłopoty. Zna rachunek różniczkowy i algebrę, ale nie na piątkę. W poprzedniej notce pies Elvis wybierał optymalną drogę do piłki w wodzie. Optymalną ze względu na czas. Jednak uderza to, że właściciel psa ograniczył się do doświadczeń gdy Elvis rozpoczynał swój bieg u samego brzegu. Miał wtedy do wyboru: albo biec dalej wzdłuż brzegu, albo rzucić się w wodę i do piłki. To mu wychodziło. Rachunek jest dość prosty. No, może nie różniczkował, może przebiegał szybko w myślach różne scenariusze i wybierał, trochę na oko, ten najlepszy.
Gdy ustawimy psa w pewnej odległości od brzegu, rachunek staje się trudniejszy. Zamieńmy szkic z poprzedniej notki (zachowując oznaczenia)
na ten inny, gdy punkt startowy jest w odległości u od brzegu:
Wyrażenie na czas T(y) dotarcia do piłki nieco się komplikuje:
Obliczyć pochodną by znaleźć ekstremum nadal prosto
Przyrównując pochodną do zera otrzymujemy równanie na niewiadome y:
Rozwiązanie tego równania jest już nie na psie siły. I nie dziwota. Otrzymujemy bowiem równanie czwartego stopnia. Da się co prawda analitycznie rozwiązać, jednak formuła jest tak skomplikowana, że nawet współczesne inteligentne programy matematyczne mają kłopoty z wyrażeniem tego rozwiązania w zwięzłej formie. Pies przypuszczalnie ucieka się do symulacji i obliczeń numerycznych, albo daje spokój w ogóle, patrzy w zdumieniu na właściciela, może nawet zaszczeka.
Ludziom też to nie idzie. Dlatego uchytrzyli się i miast trudnego rozwiązania podają łatwą regułę. Reguła jest łatwa, łatwo ją spamiętać, ale niemal bezużyteczna. O tej bezużyteczności reguły lubimy zapominać. Mówimy: odkryliśmy prawo przyrody! Jakie tam prawo. Reguła – tak. Ale prawo to żadne. Nic ono nam nie mówi o tym jak konkretnie wybierać optymalną drogę. A prawo to pochodzi od Arabów, potem maczał w tym palce nasz polski geniusz Ciołek Witelon, a znane jest jako „prawo Snelliusa”. Łatwo z naszej formuły wynika. Bowiem, patrząc na trójkąty, stwierdzamy, że
No i już mamy „prawo Snelliusa”:
cos a/cos b = r/s
Prawo to wyprowadzać można rożnymi metodami. Spotkałem się z trzema:
-
Z zasady Huygensa, zakładając, że Elvis (lub światło) ma naturę falową
-
Z zasady ekstremalnego czasu (jak w tej notce), zakładając, że Elvis (i foton) jest korpuskułą
-
Z zasady zachowania pędu Elvisa/fotonu, przyjmując formułę de Broglie'a na związek pędu fotonu z długością „fali” obserwowanego światła. Tak to robi na przykład prof dr hab. Andrzej J. Wojtowicz z UMK (który oprócz optyki zdaje się inresować także wolnomularstwem) w swoim wykładzie „Optyka geometryczna”.
To ostatnie wyprowadzenie jest najprostsze, jednak zawodzi gdy brzeg nie jest linią prostą.
Czym jest światło tego nie wiemy. Richard Feynman sądzi stanowczo, że światło to korpuskuły, fotony.
Richard Feynman: The Douglas Robb Memorial Lectures: Pt 1: Photons: Corpuscles of Light
Jednak dodaje, że ich zachowania się nie rozumie. Innymi słowy: światło jest mądrzejsze od nas.
O tym jak, mimo tego, światło staramy się przechytrzyć, będzie w następnej notce.
Komentarze