Że ludzie myślą, to nie ulega wątpliwości. Może nie zawsze i nie wszyscy. Myślą, że myślą przede wszystkim filozofowie. Swym „Cogito ergo sum” (myślę, więc jestem) Kartezjusz myślał, że dowodził nawet swego istnienia.

Kiedy myślimy? Twierdzę, że nie zawsze gdy myślimy, że myślimy, to myślimy. Często po prostu prowadzimy automatyczny wewnętrzny dialog, który z myśleniem mało ma wspólnego. Myślenie objawia się w twórczym rozwiązywaniu problemów. Myślenie to nie tylko logiczne wnioskowanie i nie tylko kojarzenie. Jedno i drugie może robić zaprogramowana odpowiednio maszyna. Myślenie objawia się wtedy, gdy dołącza się intuicja. Co to takiego ta intuicja? To problem do rozwiązania, wymagający myślenia. Możemy wszak stwierdzić, że zwierzęta wykazują intuicję. Zatem zwierzęta myślą.

Ktoś mógłby zaprzeczyć. Fakty jednak tego dowodzą. Mamy do wyboru: albo psy znają rachunek różniczkowy i wariacyjny, albo mają intuicję („myślą”). Co wybierzemy?

Furorę wśród matematyków zrobił walijski owczarek Elvis, a to za sprawą jego właściciela Timothy J. Pennigsa, matematyka w Hope College, Holland, Michigan.

Po opublikowaniu artykułu Penningsa „Czy psy znają rachunek różniczkowy?” Hope College przyznał nawet Elvisowi tytuł naukowy "Litterarum Doctoris Caninarum". Dowód na to, że psy myślą jest przy tym nie słabszy od dowodu Millikana, że jedynie całkowite wielokrotności ładunku elektronu występują w przyrodzie – o czym była obszerna dyskusja pod ostatnią notką "Kwanty nadchodzą wraz ze światłem". Metodologia w obu przypadkach była podobna.

Zapoznajmy się najpierw z sylwetkami bohaterów:

Dr Timothy J. Pennings

Dr Elvis

Widać, że Elvis trzyma coś w pysku. To coś jest okrągłe, sferyczne i żółte. Z tytułu notki można by wnioskować, że idzie o foton. Ale nie, fotony, choć mogą być żółte, to nie są sferyczne. To nie foton, to piłka tenisowa. Rolę fotonu w doświadczeniach wykonanych przez Penningsa spełniał właśnie Elvis. A oto krótki opis samego doświadczenia.

Rzecz dzieje się na brzegu jeziora Michigan. Pennings stoi u brzegu, Elvis przy nodze. Pennings rzuca ukośnie piłkę do wody. Wzdłuż brzegu rozciągnięta jest taśma miernicza. Elvis biegnie najpierw po lądzie, Pennigs za nim. W pewnym momencie Elvis rzuca się do wody i płynie wprost do piłki. Pennigs zaznacza odległość, następnie mierzy odległość do piłki. Na szkicu typowa droga Elvisa wygląda tak:

Dlaczego tak a nie inaczej? Czemu pies od razu nie rzuca się do wody? Hipoteza: Elvis chce zminimalizować czas osiągnięcia celu. Elvis wie, że po lądzie biegnie znacznie szybciej niż płynie w wodzie. Zatem kalkuluje, rozwiązuje problem wariacyjny. Albo przebiega w myślach wszystkie możliwe drogi, dla każdej wylicza czas, wybiera optymalną, albo też pisze równania na czas, różniczkuje, znajduje zero pochodnej. Rachunek wykonywany przez Elvisa mógłby wyglądać tak:

Niech r oznacza szybkość Elvisa na lądzie, s – szybkość w wodzie. Niech z będzie odległością od A do C. Wtedy czas osiągnięcia piłki T(y) dany jest wzorem

Szukamy minimum. Różniczkujemy, przyrównujemy T'(y) do 0, otrzymujemy, przy założeniu, że r jest większe od s:

Jest to wielkość teoretyczna. Czas na doświadczenia. By porównać teorię z doświadczeniem należy znać także r i s. Pennings pomierzył jedne i drugie prędkości, odpowiednio uśrednił. Wyniki doświadczeń i teoretyczna optymalna proporcjonalność y do x przedstawione są na obrazku poniżej.

Stosując wypróbowaną metodę odrzucania wyników nie pasujących do hipotezy (metoda Millikana) otrzymujemy jej doświadczalne potwierdzenie. Wyniki Penningsa zostały niezależnie potwierdzone przez francuskich biologów i matematyków Pierre Perrucheta i Jorge Gallego, na brzegu jeziora w pobliżu Nimes. Francuzi jednak, jak to bywa, mają swoją francuską hipotezę: pies ( w tym przypadku suczka labrador) maksymalizuje prędkość dochodzenia do piłki. Nie będziemy w to wchodzić.

Inny matematyk, Leonid Dickey z University of Oclahoma, przytomnie zauważył, że Elvis jest podobny do fotonu. Fotony, w zjawisku załamania, dają jednak ładniejsze proste:

Oznacza to, że myślą znacznie sprawniej od psów. Dlatego warto im też poświęcić więcej uwagi. I o tym będą kolejne notki.

Literatura:

1. T.J. Pennings, „Do dogs know calculus?” College Math. J. 34 (2003) 178–182.

2. Pierre Perruchet and Jorge Gallego (January 2006). "Do dogs know related rates rather than optimization?". College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 37 (1): 16–18

3. Leonid A. Dickey, „Do Dogs Know Calculus of Variations?”

4. Learning from Dogs

   Dogs are integrous animals. We have much to learn from them.

   Dogs and the mathematics of calculus.