To jest tak jak „moja pierwsza miłość”. Moją pierwszą miłością z drugiej klasy była Basia. Pokochałem ją, gdy z powodów dolegliwości brzucha zrobiłem w klasie w gacie, a Basia z troski odprowadziła mnie do domu (sama się zgłosiła, Pani jej nie musiała delegować). No, jak było nie pokochać?
Z kwantowaniem podobnie. Skwantujemy oscylator harmoniczny i pokochamy go od razu, bowiem zaprowadzi nas, przy wszystkich przeciwnościach losu, do kwantowego domu (o przeciwnościach będzie w następnej w notce, w tej będzie tylko o Basi).
Co wiemy? No, nic nie wiemy jeśli nie przeczytamy dwóch poprzednich notek. Zatem przypomnę:
Oscylator harmoniczny (mechaniczny, elektryczny, muzyczny, co kto lubi), taki bez tarcia, bez oporów, ma stałą całkowitą energię (kinetyczna plus potencjalna). Wyrażenie tej energii przez pęd i położenie ma postać (patrz Oscylacje dziś i jutro)
E = p2/2m + mω2x2/2
m to oscylująca masa, ω to częstotliwość kołowa (w radianach na sekundę).
Macierze pędu P i położenia Q można wyrazić przez proste i piękne nieskończone macierze a i a* (patrz Ech, te macierze) wzorami (patrz Ku kwantowej teorii przyszłości, (36),(37)):
Q = sqrt(hbar/2m ω) (a*+a)
P = i sqrt(hbar m ω/2) (a* - a)
Chcemy „skwantować” nasz oscylator. Do tego potrzebny jest „algorytm” kwantowania. Fizycy nad takimi algorytmami pracowali i je wypracowali. Algorytm jest taki:
Wyraź klasyczną formułę na energię przez pęd p i położenie x. Teraz zastąp p przez macierz pędu P, zaś położenie x przez macierz położenia Q. Otrzymasz w ten sposób „macierz energii H” (tzw. kwantowy Hamiltonian). Znajdź wartości i wektory własne tej macierzy. Gdy Ci się to uda, pytaj co dalej.
Nie pisałbym tego, gdybym nie wiedział, że dla oscylatora nam się to uda, zatem przyjdzie „co dalej”.
Ale najpierw o „algorytmach”. Z tymi algorytmami w fizyce to jak z dziewczętami w życiu. Niby można na nich polegać, ale pod warunkiem, że trzymamy się zasad. Gdy nasze zasady zawodzą, a w realnym życiu każda zasada musi zawieść, wtedy i na algorytmy liczyć nie możemy. Fizyka jest bardziej podobna do życia niż do sztuki algorytmizowania wszystkiego.
Przykład: powiedzmy mamy taki algorytm: mając dany ciąg skończony, utwórz nowy ciąg dodając do każdego wyrazu 2.
Jasne? Jasne.
123 przechodzi w 345
5474 przechodzi w 7696
Jasne, ale tylko na niby. Bo oto trafiamy na ciąg
12A
Co z nim zrobić? Trzeba kombinować. Dodać 2 do A? Co to będzie?
12C?
Być może, ale Rosjanin powie, że będzie 12B, bo u nich litery w alfabecie mają inną kolejność, nie mówiąc już o tym, że i pisane są inaczej.
To była tylko uwaga na boku. W naszym przypadku, w przypadku oscylatora harmonicznego, Polak i Rosjanin raczej się zgodzą. Co innego Chińczyk. Zatem do dzieła. Najpierw energia kinetyczna: p2/2m. Formułka na klasyczną energię kinetyczną, wyrażoną przez pęd jest trochę dziwna. Sugeruje, że energia jest odwrotnie proporcjonalna do masy ciała. Każdy wie, że jest na odwrót: czym większa masa, tym większa energia kinetyczna. Ale ta dziwota spowodowana jest tym, że pęd jest mniej intuicyjny niż prędkość. Wyrażając energie kinetyczną przez masę i prędkość – nie mamy z intuicją problemów. Wyrażając przez masę i pęd – trzeba się dopiero oswajać, przekonywać siebie, że „masa ukrywa się w pędzie”. Dlaczego właśnie pęd jest tak ważny w mechanice kwantowej, on jest pierwotniejszy od prędkości? Przyznam, że nie wiem. Kiedyś ktoś to zrozumie. Albo i nie. Po prostu się do tego przyzwyczaimy.
Stosujemy algorytm. Dostajemy
P2/2m = ( i sqrt(hbar m ω/2) (a* - a))2/2m
= - hbar m ω (a*2 – aa* - a*a + a2)/4m
= -hbar ω (a*2 – aa* - a*a + a2)/4
Zauważmy, że przy obliczaniu (a* - a)2 nie możemy stosować wzoru ze szkoły, bowiem a i a* to macierze, one nie są przemienne. Trzeba rachować z definicji i wymnażać ręcznie
(a* - a)2=(a* - a)(a* - a) = a*a* - a*a – aa* + aa
Otrzymaliśmy
P2/2m = -hbar ω (a*2 – aa* - a*a + a2)/4
Zauważmy, że masa m nam się uprościła. Zniknęła z naszego wyrażenia. Została tylko ω. Dziwy jakieś. No, ale niech już będzie.
Zabieramy się za energię potencjalną, klasycznie mω2x2/2 . Podstawiamy, jak algorytm każe, Q za x. Dostajemy:
mω2Q2/2 = mω2( (hbar/2m ω)(a* + a)2 )/2
= hbar ω (a*2 + aa* + a*a + a2)/4
Znów masa nam się uprościła, zniknęła, jakby była nieistotna. Zmowa jakaś?
Zbierając razem dostajemy macierz energii H
H = hbar ω (aa* + a*a)/2
Ale aa* - a*a = I, zatem aa* = I +a*a. No to
H = hbar ω (a*a + I/2)
Macierz a*a wyliczyliśmy w Ech, te macierze. To macierz diagonalna
a*a =
(urwałem na macierzy 4x4, ale to tak naprawdę, pamiętajmy o tym, igramy z macierzami nieskończonymi)
Macierz I/2 to też macierz diagonalna. Na przekątnej same 1/2, wszędzie indziej zera. Zatem nasza macierz K, macierz reprezentująca energię oscylatora w państwie Kwantów to macierz, w której na diagonali, w n-tym rzędzie i w n-tej kolumnie stoi liczba:
En = hbar ω (n+1/2), n=0,1,2,....
Gdy macierz jest diagonalna, to liczby na diagonali to jej „wartości własne”. Znaleźliśmy zatem „wartości własne” macierzy/operatora energii dla oscylatora harmonicznego o masie m i częstości kołowej ω. To nasze liczby En dane formułą wyżej. Masa oscylatora zniknęła. Nie ma jej w formule na energie. Magicznie wyparowała. Została sama ω, no i ta stała hbar Plancka, Diraca, jak jej tam, ona wszędzie się pęta gdzie pachnie kwantami.
Skwantowaliśmy oscylator. Dostaliśmy od Basi buziaka. Teraz co dalej? Czy za to dają Nobla?
O tym w kolejnych notkach.
A póki co ilustracja z dawnej notki Nowa rosyjska elektrodynamika, gdzie o kwantowym oscylatorze wspominałem
