Oscylacje dziś i jutro

Dziś kolejne uzupełnienie do notki Ku kwantowej teorii przyszłości. Napisał tam W. Cz. Janusz Gorzów:

1. Uczeń wie jak obliczać parametry w obwodach elektrycznych w stanach ustalonych i nieustalonych

Uczeń przez to przechodził, więc wie. Ale nie każdy wie tak samo, zatem przypomnieć nie zawadzi.

Dyskutujemy prosty oscylator. Masa i sprężyna. Może dwie sprężyny, jedna po jednej, druga po drugiej stronie masy. Tak jak na tym obrazku:

 

 

Ciężarek ma masę m. Masę sprężyn zaniedbujemy. Każda za sprężyn ma swój współczynnik sprężystości k/2. Zakładamy, że współczynniki dla obu sprężyn są jednakowe. Dla małych wychyleń siła działająca na masę jest proporcjonalna do wartości wychylenia od położenia równowagi, skierowana przeciwnie:

F = - kx

Zapisujemy równania ruchu Newtona

ma = -kx

Przyspieszenie a to dv/dt. Prędkość v to dx/dt.

Wiemy, choćby ze ściągi, że masa będzie oscylować ze stałą „częstością kołową” ω , przy czym k = mω²

Będzie nas interesował „oscylator kwantowy”. Chcemy nasz mechaniczny oscylator „skwantować”. W tym celu fizycy zwykle zaczynają od zapisania równań ruchu w „przestrzeni fazowej”. Czemu tak właśnie jest? Czemu to działa? To zagadka. Po prostu działa. Kiedyś to zrozumiemy lepiej, dziś nie pozostaje nam nic innego jak przyjąć do wiadomości.

Standardowe zmienne w przestrzeni fazowej to „położenie” i „pęd”. Położenie mamy, to x. Pęd to p=mv. Masa, zakładamy, nie zmienia się w czasie, zatem zmiana pędu w czasie to

dp/dt = mdv/dt =ma = -kx = -mω²x

Zmiana położenia w czasie to

dx/dt = v = p/m

Mamy więc nasze równanie ruchu Newtona, równanie drugiego rzędu (bo przyśpieszenie to druga pochodna położenia po czasie) zapisane jako para równań pierwszego rzędu w przestrzeni fazowej:

dx/dt = p/m

dp/dt = -mω²x

Przyda nam się także wyrażenie na pełną energię naszego sprężynowego oscylatora:

 

Pełna energia to suma energii kinetycznej i potencjalnej:

E = p²/2m + kx²/2 = p²/2m + mω²x²/2

Przejdźmy teraz do oscylatora elektrycznego. Ten składa się z kondensatora o pojemności C i cewki o indukcyjności L. Czemu pojemność oznacza się lirką C, mogę się domyślić: od „capacity”. Czemu indukcyjność oznacza się literką L, tego nie wiem.

Działanie takiego oscylatora wyjaśnia się dzieciom jak na poniższym obrazku z dziecięcej encyklopedii:

 

Elektrony biegną po drucie, ten prąd wytwarza w cewce pole magnetyczne. Pole magnetyczne zmienia się w czasie i wytwarza pole elektryczne. Pole elektryczne napędza z kolei elektrony. Taki dziecinny opis zjawiska jest całkowicie wystarczający jak na nasze potrzeby. Możemy dodać do tego jedynie ilustrujący obrazek:

 

By znaleźć analogię oscylatora elektrycznego do oscylatora mechanicznego musimy się zdecydować co będzie odgrywało rolę położenia, a co rolę pędu. Można wybierać na różne sposoby. Wybierzmy tak

Położeniem będzie wartość strumienia pola magnetycznego Φ w cewce

Pędem będzie ładunek Q.

Podobnie jak to było na naszym obrazku, w położeniu początkowym pęd jest maksymalny, położenie jest w zerze. Trzeba teraz zapisać równania ruchu. Skoro nasz uczeń je zna, nie trzeba ich tłumaczyć, zapiszę więc je tak, jak to się robi na kursach elektryczności:

dΦ /dt = Q/C

dQ/dt = -Φ /L

Teraz częstotliwość drgań własnych ω²=1 /LC, stąd 1/L = Cω², zatem mamy równania

dΦ /dt = Q/C

dQ/dt = -Cω²Φ

Widać, że mamy pełną analogię do oscylatora mechanicznego:

dx/dt = p/m

dp/dt = -mω²x

Pojemność C odgrywa przy tym rolę masy.

 

Teraz będziemy chcieli nasze oscylatory „skwantować” by zobaczyć co z tego wyniknie. By efekty kwantowego ujęcia mogły się ukazać trzeba pozbyć się szumów. Dla sprężyn szumem jest tarcie i ciepło. Dla oscylatora elektrycznego podobnie. Kwantowa elektronika wymaga (póki co) małych rozmiarów i bardzo niskich temperatur. Dopiero wtedy zaczynają odgrywać rolę nasze nieskończone macierze P i Q i to, co  z ich nieprzemienności wynika. I o tym będą kolejne notki.

Oto odpowiedni wykres zależności dla kwantowego oscylatora. Więcej w czasopiśmie International Journal of Advanced Computer Technology (IJACT)