Taki był tytuł moich dwóch projektów badawczych (I i II) sponsorowanych w swoim czasie przez Komitet Badań Naukowych. Taki jest też mój program badawczy dzisiaj. Wtedy z podjętych zadań się wywiązałem, jednak sam program badawczy nie został zakończony – jest jeszcze sporo do zrobienia. A o tym co jest jeszcze do zrobienia piszę od czasu do czasu tu, na blogu. Tego też dotyczy niniejsza „symplektyczna” seria.
By dyskutować kwantową teorię przyszłości trzeba wyjść od kwantowej teorii przeszłości. I tak też robię. Przeszłość to, w tym przypadku fizycy, Heisenberg, Born, Jordan, Schrodinger, Dirac, oraz matematycy, Stone, von Neumann, Weyl, Bargmann, Segal....
Oczywiście nie mam zamiaru przedstawiać tu zawikłanej historii teorii kwantów. Mam zamiar pójść na skróty i spróbować przerzucić most pomiędzy przeszłością a przyszłością.
W notce
Kwantowa kwestia istnienia poruszyłem problem realizacji relacji komutacji Heisenberga pomiędzy macierzami/operatorami P i Q. Dziś przyjrzymy się konkretnej realizacji. By budować most trzeba od czegoś w miarę solidnego zacząć. Gdy mamy się na czym oprzeć, na czymś solidnym, konkretnym, wtedy można się zastanawiać nad tym jaki winien być krok następny. W
poprzedniej notce, w komentarzu, podałem łamigłówkę z klepsydrami. Podałem jej rozwiązanie zaczerpnięte z książki „
Нешаблонное мышление”. Po rozwiązaniu autor, Джон О’Кифф, zamieszcza taką uwagę:
Это упражнение может служить превосходной иллюстрацией случая, когда лучше предпринять немедленные действия, выиграть время для размышлений, а затем корректировать первоначальный план по мере поступления дополнительной информации.
Ćwiczenie to może służyć za doskonałą ilustrację przypadku, gdy lepiej jest podjąć natychmiastowe działania, wygrać w ten sposób czas na zastanowienie się, by następnie dokonywać korekty pierwotnie wybranego kursu w miarę pojawiania się dodatkowych informacji.
I tak też uczynię. Skoro od czegoś konkretnego należy zacząć, czemu nie zacząć od królika wyciągniętego z kapelusza? Jeśli królik okaże się tłusty, solidny, wtedy i o kapeluszu można zapomnieć!
Zdefiniujmy więc dwie (nieskończone) macierze, a i a*. Zdefiniujmy je tak:
Formuły na a i a* są tak proste i tak piękne, że zasługują na oprawienie w ramki.
Jakby istniały w świecie matematyki od dawna i tylko czekały aż zjawi się ktoś, kto je wykorzysta!
Co widać? Widać, że macierze są wyjątkowo proste, mają współczynniki rzeczywiste. Jedna ma niezerowe elementy tuż nad przekątną, druga pod przekątną. Jedna jest przekątniowym odbiciem drugiej. Dla macierzy rzeczywistych operacja sprzężenia hermitowskiego sprowadza się do odbicia względem przekątnej. Zatem a* jest macierzą hermitowsko sprzężoną do macierzya.
Korzystając z reguł mnożenia macierzy kwadratowych łatwo obliczyć iloczyny aa* i a*a. W tym wypadku nasze obliczenia sprowadzają się do podnoszenia pierwiastków kwadratowych do kwadratu – sprawa dziecinnie prosta. Otrzymujemy:
Macierze aa* i a*a są jeszcze prostsze, wręcz banalne. A przy tym piękne. Odejmując widzimy, że
[a,a*] = aa* - a*a = I
Komutator [a,a*] jest macierzą jednostkową! Na przekątnej są same jedynki, poza przekątną same zera.
Mamy zatem królika. Królik wygląda nieźle. Trzeba teraz go przekonać by wykonał jakąś użyteczną pracę. Matematyka winna popracować dla fizyki. Fizyka zaczyna się tam gdy od czystych liczb przechodzimy do liczb z mianami takimi jak masa M,długość L, czas T itd. Fizyka zaczyna się tam, gdzie pojawia się jakiś układ fizyczny wraz z charakterystycznymi dla niego stałymi.
Wybiorę to ostatnie. Oscyluje wokół nas niemal wszystko, oscylujemy i my sami.
Oscylator harmoniczny to najprostszy nietrywialny układ fizyczny.
Nasz oscylator charakteryzują dwie stałe: jego masa m i jego częstotliwość kołowa ω.
Mamy te wielkości do dyspozycji. Mamy też do dyspozycji stałą Plancka ℏ . Z macierzy a,a* oraz z m,omega,ℏ konstruujemy teraz operatory Q i P noszące miana fizyczne: odpowiednio długości (L) i pędu (MLT-1). Dbamy przy tym o to by Q i P były hermitowskie: Q=Q*, P=P*. Dlatego w definicji P dokładamy urojony czynnik „i”, inaczej P byłby antyhermitowski
Dwójka wzięła się po to, by wyszło nam tak jak trzeba, by P i Q spełniały kanoniczne relacje przemienności Heisenberga. Mamy zatem
(ℏ , hbar, h przekreślone – stała Plancka h dzielona przez 2 π)
Trzeba teraz obliczyć [Q,P] = QP – PQ i sprawdzić, że otrzymamy relacje komutacji Heisenberga. Mnożenie macierzy P i Q byłoby nieco uciążliwe. Nie musimy jednak tego robić, mamy bowiem Q i P wyrażone przez a i a*. Prosty, naprawdę prosty, rachunek daje nam
[Q,P] = iℏ [a,a*] = i ℏ I
Czyli tak jak trzeba: Mamy Q i P tak jak tego chcieli ojcowie mechaniki kwantowej. Teraz tylko coś z nimi trzeba zrobić. Trzeba się czegoś nowego dowiedzieć o naszym oscylatorze. A może i o innych układach kwantowych? Przygoda czeka.
