Być albo nie być? Oto jest pytanie. I jakże trudno odpowiedzieć na nie. Zwłaszcza kwantowo. W serii notek pisałem o nieprzemiennych kwantowych macierzach położenia i pędu Q i P. Powinny one spełniać kwantowe relacje (nie)przemienności napędzane stałą Plancka.
Dla jednego stopnia swobody:
Dla wielu stopni swobody:
Aby Q i P mogły to spełniać, muszą najpierw istnieć. Ale czy istnieją? A jeśli tak, to na ile sposobów?
Fizyka teoretyczna, przy użyciu ścisłych narzędzi matematyki konstruuje modele. Badając modele wyciągamy wnioski. Te wnioski konfrontujemy z doświadczeniem. Modele winny mieć takie czy inne własności. W naszym przypadku potrzebne są Q i P spełniające relacje przemienności jak wyżej. Gdy je mamy, możemy spokojnie iść dalej. Co jednak gdy takowych nie ma? Moglibyśmy wtedy wyciągać wnioski opierające się na fałszywym założeniu o istnieniu. Z fałszywych przesłanek Bóg jeden wie jakie wnioski można wyciągnąć. Co więcej, nawet jeśli jakiś model skonstruujemy, pojawia się pytanie: czy jest to model jedyny możliwy? A jeśli istnieje więcej modeli, to czy wnioski z nich wyciągane będą te same czy różne? Jeśli różne, to który z dostępnych modeli wybrać i na jakiej podstawie?
Doktorat pisałem z zastosowań pewnego, wówczas jeszcze dość nowego, działu matematyki w fizyce. Szło o zastosowania „algebr von Neumanna z wektorem cyklicznym i separującym.” Jednym z recenzentów mojej pracy był światowej sławy matematyk, profesor Andrzej Hulanicki. Uwielbiałem go, nie wiem jak mi, jakby nie było fizykowi, bez podstawowego wykształcenia matematycznego, udało się u niego zdać egzamin z analizy harmonicznej! Gdy przyszło do recenzji mojej rozprawy, profesor Hulanicki zaprosił mnie do swojej willi i zachęcił do opowiedzenia o treści mojej sprawy. Willą byłem oczywiście oszołomiony, pamiętam do dziś wrażenie jakie wywarł na mnie prawdziwy, duży i solidny fortepian. No tak, to wielki matematyk, skoro na takim fortepianie grać potrafi!
Jednym z pierwszych pytań, które wtedy otrzymałem było: a czy one, te algebry von Neumanna z wektorem cyklicznym i separującym, aby na pewno istnieją? Pytanie zasadne, bowiem można pisać rozprawę doktorską o krasnoludkach z czerwoną buzią i niebieską czapeczką, ale czy za taką rozprawę, choćby i nie wiem jak głęboko konsekwencje czerwonych buź i niebieskich czapeczek roztrząsała, czy za taką rozprawę należy się stopień doktora nauk?
Dla mnie pytanie było dość szokujące. Oczywiście, że istnieją. Inaczej bym się nimi nie zajmował. Podałem przykład, który mi wydawał się wręcz tak trywialny, że niewarty wspominania. Jednak matematyk wziął ten przykład wyjątkowo serio, zapytał o detale, mój trywialny przykład mu całkowicie wystarczył. Wtedy zrozumiałem, że nawet od ekspertów nie należy wymagać by wiedzieli wszystko. Eksperci wiedzą co wiedzą i czego nie wiedzą, i wiedzą to o całe nieba lepiej niż inni.
"Co prawda o przedmiocie nic nie wiem,
chętnie jednak podzielę się moją opinią eksperta."
Ale wszak nie wiedzą wszystkiego! Czasem nie wiedzą o rzeczach, które nam, laikom i nowicjuszom, wydają się całkowicie trywialne. Gdy się jednak dowiedzą, potrafią z tej wiedzy zrobić lepszy użytek niż cała reszta.
Przy odpowiednich założeniach (i ewentualnym przeformułowaniu problemu) operatory Q i P spełniające kwantowe związki komutacji istnieją, można takowe skonstruować, zaś wnioski wyciągane z tak skonstruowanego modelu nie zależą od wyboru modelu. Różne modele prowadzą do tych samych wniosków.
Konieczne przy tym jest podkreślenie: „przy odpowiednich założeniach”? A co bez tych założeń? Gdy zaczniemy bawić się analizując konieczność założeń, otwieramy skrzynkę Pandory.
W skrzynce wiją się „patologie”. Czy któraś z tych patologii będzie miała dla fizyki jakieś znaczenie czy nie, tego z góry nie wiemy. Co dziś uważane jest za patologię, jutro może okazać się niezbędnym do życia.
Zauważmy, że od terminu „macierze” niepostrzeżenie przeszedłem do terminu „operatory”. Rzecz w tym, że z tymi macierzami okazało się dość krucho. Operator jest nieco bardziej abstrakcyjnym, ale i mocniejszym pojęciem niż macierz. Podczas gdy każda macierz reprezentuje jakiś operator, to nie każdy operator da się zgrabnie przedstawić jako macierz. Można to próbować robić na wiele sposobów, często jednak musimy kończyć na jakichś „uogólnionych macierzach”, takich co coś z macierzy mają, ale czegoś tam nie mają.
Tak więc cała mechanika kwantowa, od czasów Heisenberga, zwekslowała od macierzy do operatorów. Póki co są to operatory liniowe, ale te nieliniowe też się do niej wkradają, choć na razie tylko chyłkiem.
Powszechnie używany w operatorowej mechanice kwantowej model omówię w kolejnej notce.
