Jednemu z twórców mechaniki kwantowej, Schrodingerowi, zarzuca się, że znęcał się nad biednym kotem poddając go (kota) kwantowemu splątaniu między kocim życiem i kocią śmiercią. Kwantowe splątania to rzecz głęboka, zresztą i samym kwantowym fizykom plączą się języki: mnogość różnych „interpretacji” matematycznego formalizmu teorii kwantów przypomina historię wieży Babel: budowali, budowali, aż przyszła na nich kara
Ludzie jednak się tak łatwo nie poddają. Będą budować dalej, jeśli trzeba, to od nowa.
Wracając do kwantowego kota: koty, jak wiadomo, są dziwne. Ich działania są często w sposób nieredukowalny nieprzewidywalne. Powszechnie przyjmuje się, że koty nie lubią wody. A jednak i kot może nauczyć się pływania.
Skoro kot może nauczyć się pływania, jak BOSS, każdy z nas może się tego nauczyć – na kwantowych falach.
Oto moje własne pływanie.
Zanim zacznę uczyć kota pływania, sam chcę tę sztukę opanować. Oto dane techniczne fotki:
Make = SONY
Model = DSC-W830
Date Time = 2014-11-10 04:33:46
Exposure Time = 1/250"
F Number = F3.3
ISO Speed Ratings = 80
Max Aperture Value = F3.3
Uważny czytelnik dostrzeże tu małe przekłamanie: czas w kamerze był z pewnością źle ustawiony. Zobaczyłem, już poprawiłem. Do wskazań termometru widocznego na fotce też nie mam pełnego zaufania. Woda była z całą pewnością zimniejsza. Wyskakiwałem z niej jak ten kot
Powróciłem szybko do domu by ogrzać się przy kominku kontemplując najważniejszą formułę mechaniki kwantowej, tej o której zacząłem pisać w poprzedniej notce „Kwantowy ślad Zenona z Elei”:
P to pęd, Q to położenie, zakładając, że ruch i spoczynek odbywają się w jednym wymiarze, na linii prostej. macierze, inaczej "operatory", P i Q są nieprzemienne. W mechanice kwantowej mamy do czynienia z nieprzemiennym („niekomutatywnym”) mnożeniem. Powszechnie mówi się, że wielkości nieprzemienne są „niewspółmierzalne”. Co to znaczy? Tu się kwant-owcom (napisałem najpierw "kwantowcom", poprawiacz pisowni zaproponował mi kwant-owcom, pomyślałem, zgodziłem się!) plączą języki. Jedni mówią „nie można ich zmierzyć jednocześnie”. Inni mówią: „jak będziemy mierzyć jednocześnie, to pomiar jednej będzie przeszkadzał pomiarowi innej” („nieoznaczoność Heisenberga”). No to jak to jest? Można mierzyć jednocześnie czy nie można? Zimność wody przeszkadza mi w pływaniu, co jednak nie przeszkadza mi w wejściu do tej wody i popłynięciu. Najpierw zrób, potem zastanawiaj się nad tym czy było to możliwe.
Wracając do P i Q. Nie mogą to być ani liczby ani funkcje, bo mnożenie tych jest przemienne. Mogą to być jednak macierze, bo mnożenie macierzy jest, na ogół, nieprzemienne. W poprzedniej notce widzieliśmy, że nie mogą to być macierze skończonego wymiaru, takie jak w arkuszach kalkulacyjnych. Muszą to być macierze o nieskończonej liczbie wierszy i kolumn. Muszą, ale czy mogą? Miła pani doktor Chelsea Walton, od „niekomutatywnej algebry”, podaje przykład dwóch macierzy x,y takich, że xy-yx = I:
Kwantowy fizyk się na taki przykład obruszy. Bowiem P i Q u kwantowego fizyka muszą być „samosprzężone”, inaczej: „hermitowskie”. Do równania PQ – QP =ih/(2 pi) trzeba koniecznie dodać warunki:
P = P*, Q = Q*.
Uzasadnia się to tym, że pomiar pędu czy położenia daje w wyniku liczbę rzeczywistą, a w podręcznikach algebry dowodzi się, że charakterystyczne wielkości wyciągane z macierzy hermitowskich (wartości własne, jej „widmo”, „spektrum”, „składowe tony”) są rzeczywiste. Po macierzach takich jak w przykładzie dr Walton rzeczywistości wartości charakterystycznych spodziewać się nie należy.
Dalszy ciąg tej notki jest już tylko dla czytelników nie lękających się (dość prostej zresztą) algebry. To szkic dowodu tego, że P i Q nie tylko nie mogą być macierzami skończonymi (co wynika z policzenia śladu obu stron), lecz także nie mogą mieć skończonej normy.
Dowód, nie wprost, przebiega mniej więcej tak:
Przypuśćmy, że P i Q mają skończoną normę. Z założenia tego wyprowadzimy wniosek, że skończonej normy mieć nie mogą. Najpierw odpuśćmy sobie h/2 pi, to w końcu skończona stała. Możemy, jeśli chcemy, przeskalować nasze P i Q tak, by zamiast h/2 pi po prawej stronie stała jedynka:
[Q,P] = iI
[Q,P] to komutator
[Q,P] = QP – PQ
Co z tego możemy dalej wydedukować? Szukamy w Wikipedii po hasłem „komutator”. Znajdujemy taką własność komutatora („tożsamość Jacobiego”)
[A,BC] = [A,B]C + B[A,C]
Używamy jej do wliczenia [Q,P2]
[Q,P2] = [Q,P]P + P[Q,P] = iP + iP = 2iP
Dalej:
[Q,P3] = [Q,P2]P + P2[Q,P] =2iP2+iP2 = 3iP2
Ogólnie, dochodzimy do
[Q,Pn+1] = i(n+1)Pn , n=0,1,2,...
czyli
QPn+1 – Pn+1Q = i(n+1)Pn , n=0,1,2,...
Bierzemy normę z obu stron. Po prawej stronie dostajemy (n+1)|| Pn||. Po lewej stronie:
||QPn+1 – Pn+1Q || ≤ || QPn+1|| + || Pn+1Q || ≤ 2||Q|| || Pn+1|| <= 2||Q|| ||P|| || Pn||
(Skorzystaliśmy tu z następujacych własności normy: ||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||; ||cA|| = |c| ||A||, c - liczba; ||AB||
≤ ||A|| ||B||)
≤ ||A|| ||B||)
Dochodzimy więc do nierówności
(n+1)||Pn|| ≤ 2||Q|| ||P|| || Pn||
Gdyby || Pn|| było różne od zera dla wszystkich n, po podzieleniu przez || Pn|| dostalibyśmy
(n+1) ≤ 2||Q|| ||P||
dla wszystkich n. Jawna niemożliwość. Zatem Pn musi być zerem dla pewnego n. A skoro tak, to i dla wszystkich następnych. Jednak z równości
QPn+1 – Pn+1Q = i(n+1)Pn
wynika, że jeśli Pn+1 = 0, to także Pn =0. Logiczny stąd wniosek: Pn =0 dla wszystkich n, włączając w to n=1. Jest to jednak sprzeczne z wyjściową równością QP-PQ = iI. cbdo.
Argument ten pokazuje, że P i Q nie mogą obydwa mieć skończonych norm. Przynajmniej jeden z nich (operatorów P i Q) musi być nieograniczony. "Nieco" ten argument modyfikując mozna pokazać, że żaden z nich nie może mieć skończonej normy.
Widzimy więc, że w tej prostej i niewinnie wyglądającej formule zawarta jest nieskończoność przestrzeni.
Nasza przestrzeń jest tak wielka, że przybliżanie jej modelem nieskończonym jest prawdopodobnie, dla wielu celów, znacznie bardziej efektywne niż przybliżanie jakimś modelem skończonym.
Komentarze