W dyskusji pod poprzednią notką pojawił się nowy uczestnik, przypadek szczególny. Szczególność ta wyrażała się m.in. szczególnym upodobaniem do „hmmmmmm.................................................... „.
Hmm.........................
Osobnik ten najwyraźniej domagał się pokazania mu jak się rozwiązuje problemy – najwyraźniej ma z tym kłopoty. I akurat nadarza się okazja. Problem jest taki:
Udowodnić, że wyznacznik każdej macierzy symplektycznej jest równy +1.
Problem życiowo niezmiernie ważny. Dlaczego? Bowiem w mechanice mamy do czynienia z ewolucją opisywaną macierzami symplektycznymi. Wyznacznik równy +1 oznacza zachowanie w czasie zorientowanej objętości w przestrzeni fazowej. W jakiś nie całkiem jeszcze zrozumiały sposób jest to związane ze stałością stałej Plancka i Bóg jeden wie z czym jeszcze. A bez tej zorientowanej stałości zapewne nie byłoby życia. Mamy więc problem wagi podstawowej. Problemy należy rozwiązać, a w ich rozwiązywaniu należy się kierować myśleniem podpartym intuicją.
Skoro problem jest sformułowany w języku matematyki, myślenie winno być matematyczne i intuicja także. Podczas gdy do myślenia wystarcza logika, intuicja to co innego. To wyjście poza logikę, choć nie wbrew logice. Może jedynie wbrew płytko rozumianej logice.
Przystępujemy zatem do rozwiązywania problemu. Jak to się często zdarza, zaczynamy od końca.
Mamy macierz symplektyczną S. Co już wiemy? Wiemy już, z definicji symplektyczności, że wyznacznik każdej macierzy symplektycznej jest równy albo plus jeden, albo minus jeden
Wiemy też, że każda taka macierz da się, i to jednoznacznie, przedstawić jako iloczyn dwóch macierzy
S = TU
gdzie T jest symplektyczna, symetryczna, dodatnio określona, zaś U jest symplektyczna ortogonalna.
Z własności wyznaczników wiemy, że wyznacznik iloczynu macierzy to iloczyn ich wyznaczników:
det S = det T det U
Macierz T jest symetryczna, dodatnio określona, zatem jej wartości własne są dodatnie. Wyznacznik każdej macierzy kwadratowej jest równy iloczynowi jej wartości własnych. Iloczyn liczb dodatnich jest liczbą dodatnią. Nie może więc być minus jedynką. Zatem det T = +1.
Sprowadziliśmy zatem nasz problem do problemu bardziej elementarnego: do pokazania, że wyznacznik każdej ortogonalnej macierzy symplektycznej jest równy +1.
Analizujemy zatem ortogonalne macierze symplektyczne. Niech zatem S będzie ortogonalna i symplektyczna.
Warunek symplektyczności STJS = J możemy zapisać też jako:
S-1 = -JSTJ
Transponując obie strony otrzymujemy
S-1T = -JSJ (x)
Nasza macierz S jest nie tylko symplektyczna, ale i ortogonalna. Zatem
STS=SST = I
Innymi słowy
ST = S-1
Innymi słowy
ST-1= S (xx)
Porównując (x) i (xx) widzimy, że
S = -JSJ
Lub, mnożąc przez J z lewej:
JS = SJ
Zapisujemy S w postaci blokowej:
A B
C D
Przypomnijmy, że J w postaci blokowej to
0 I
-I 0
Liczymy JS. Wychodzi
C D
-A -B
Liczymy SJ. Wychodzi
-B A
-D C
Porównując JS z SJ widzimy, że musi być
C = -B
D = A
Nasza macierz S musi więc być postaci
A B
-B A
Dotąd kierowaliśmy się w zasadzie wyłącznie logiką. Doszliśmy w ten sposób do wniosku, że S ma szczególną postać. Moglibyśmy do tego wniosku dochodzić niekoniecznie pokazaną tu drogą. Jednak wniosek jest raczej prosty i wiele dróg do niego prowadzi.
Teraz poprosimy o pomoc intuicję. Intuicja na zewnątrz wygląda często jak wyciąganie królika z kapelusza. Skąd ten królik tam się wziął? To inna sprawa. Poważna zresztą.
Okazuje się, po fakcie, że warto użyć transformaty Cayleya. O transformacie Cayleya pisałem kiedyś, i to nie raz, przy innych okazjach. Tym razem będzie to transformata klatkowa. Oto królik w kapeluszu:
Rozważmy macierz P zdefiniowaną jako
P =
I iI
I -iI
Tutaj „i” to pierwiastek z -1, zaś I to macierz jednostkowa nxn. Mnożąc łatwo sprawdzamy, że macierz odwrotna do P to
P-1= (1/2) P*
gdzie P* jest macierzą hermitowsko sprzężoną do P.
Królika z kapelusza wyciągamy obliczając, bez wyraźnego z góry powodu, macierz P(S) = PSP-1 . Wychodzi (po przeliczeniu na papierze)
A-iB 0
0 A +iB
Zatem wychodzi macierz klatkowo diagonalna. Królik zrobił dobrą robotę. A Tichy,
w komentarzu pod poprzednią notką, wykazał się intuicją pisząc "
Ciekawe jak sobie poradzisz bez klatkowej diagonalizacji...".
Dla macierzy klatkowo diagonalnych możemy użyć wzoru z Wikipedii, wzoru który niedawno widzieliśmy
Używając pierwszego od góry wzoru wnioskujemy, że
det P(S) = det(A-iB) det(A+iB)
Macierze A i B są rzeczywiste, Macierz A+iB jest zespolenie sprzężona do macierzy A-iB. Wyznacznik macierzy zespolenie sprzężonej jest zespolonym sprzężeniem wyznacznika. Zatem
det P(S) = |det A-iB|2
co jest zawsze nieujemne. Ale det P(S) = det P det S det P-1 = det S. Stąd
det S = |det A-iB|2jest nieujemne. Stąd det S =+1. cbdo.
Problem postawiliśmy i rozwiązaliśmy. Korzystaliśmy przy tym zarówno z pożytecznych stereotypów (logicznego myślenia) jak i z królików przybiegających na zawołanie. Hm.....................
Zwykle, po fakcie, znajdujemy jakiś sposób by królika uzasadnić, by sprowadzić intuicję do „prawidłowości”. Taką już mamy naturę.
