Symplektyczne pierwiastki

Ze słownika języka polskiego: pierwiastka: kobieta lub samica pierwszy raz rodząca. To już wiemy. Ale symplektyczna? W języku angielskim byłoby jaśniej: symplectic square roots. Angielskie „root” to, w zasadzie, korzeń. Angielskie „square” to „kwadratowy”. Korzenie jednak bywają raczej okrągłe a nie kwadratowe....

 

Porzućmy jednak języki, ludzkie i małpie, i przejdźmy do matematyki. Tam prościej. W dyskusji pod poprzednią notką pojawił się temat wyciągania pierwiastka kwadratowego z symetrycznej, dodatnio określonej, rzeczywistej macierzy symplektycznej. Napisałem tam, że udowodnić iż (dodatni) pierwiastek kwadratowy z takiej macierzy jest sam macierzą symplektyczną, i że udowodnić to jest dość trudno.

 

Wycofuję się z tego „trudno”. W samej rzeczy bardzo łatwo, pod warunkiem, że ktoś nam pokaże jak to łatwo zrobić! I tak samo jest w życiu. Pewne rzeczy, działania, decyzje, wydają nam się trudne – dopóki ktoś nam nie pokaże, że w istocie są łatwe. Wtedy my możemy/powinniśmy pokazywać/przekazywać to samo dalej, innym potrzebującym.To tak jak z wyjściem z labiryntu: łatwo, gdy ktoś znający drogę nas prowadzi.

 

Przy okazji: przymierzam się do kupna elektronicznego instrumentu muzycznego. Waham się między Cassio WK 7600 a Korg SP 170s.

 

Korg-SP170s

Casio WK 7600

 

Ceny zbliżone – mogę tyle zaoszczędzić. Casio to „Workstation”, Korg, to elektroniczny fortepian. Korg ma 88 klawiszy i „ważone klawisze”. Ale tylko 10 różnych dźwięków. Casio ma tylko 76 klawiszy i klawisze czułe na dotyk, ale nie ważone. Podobno prawdziwy muzyk musi mieć ważone klawisze. Ale ja prawdziwym muzykiem nie jestem ani być nie zamierzam. Instrument ma mi służyć do przeprogramowywania połączeń mózgowych. A skoro mam przeprogramowywać, to komputer mi w tym pomoże, bo lubię programować. Dlatego wybiorę raczej WK. Przez USB do komputera i jazda, panie dzieju. Będę mógł wyciągać pierwiastki z symplektycznych pozytywnych melodii tak, że dalej będą symplektycznie pozytywne. A do Korga zniechęciło mnie szczególnie jedno zdanie znalezione w sieci: „We really can’t appreciate the sounds that are produced by the internal speakers of the Korg SP170s.”

 

Zatem wracam do symplektycznych pierwiatków. Zakładam przy tym, że Czytelnik przeczytał poprzednie symplektyczne notki i dyskusji pod nimi. Jednak to i owo przypomnę.

 

Będziemy rozważać wyłącznie macierze rzeczywiste. Macierz A jest symetryczna gdy jest równa transponowanej: A = A^T. Interesować nas będą macierze symetryczne, dodatnio określone, w skrócie „dodatnie”. Macierz symetryczna dodatnia ma kilka równoważnych definicji:

 

A jest dodatnia gdy

 

 

Interesuje nas szczególnie punkt 4). Macierz B nazywa się wtedy (dodatnim) pierwiastkiem kwadratowym z macierzy i oznacza się symbolem A^1/2.

 

Zauważmy, że jeśli A jest dodatnia, to i jej odwrotność, A^-1, jest też dodatnia. Wynika to 5) i z faktu, że wartości własne macierzy A^-1są odwrotnościami wartości własnych macierzy A.

 

Stąd już łątwo wnioskujemy, że pierwiastek kwadratowy z odwrotności jest równy odwrotności pierwiastka kwadratowego:

 

(A^1/2)^-1 = (A^-1)^1/2= A^-1/2.

 

Po tym wstępie udajmy się z wizytą do państwa Symplektycznych. Najpierw krótkie przypomnienie.

 

J jest macierzą kwadratową klatkową 2nx2n postaci

 

0 I

-I 0

 

gdzie każdy z czterech bloków jest macierzą kwadratową nxn, 0 oznacza macierz zerową, I macierz jednostkową.

 

Zauważmy, że JJ^T= J^TJ = I.

 

W tym ostatnim wzorze, wnioskujemy z kontekstu, że tym razem I jest macierzą jednostką 2nx2n, a nie nxn jak w poprzednim wzorze na J.

 

Macierz S nazywa się macierzą symplektyczną jeśli

 

S^TJS = J

 

Z kontekstu wnioskujemy, że S jest macierzą 2nx2n, z definicji zaś wnioskujemy, biorąc wyznacznik z obu stron, że det(S)² = 1, zatem każda macierz symplektyczna jest macierzą odwracalną.

 

Załóżmy, że S jest macierzą symplektyczną dodatnią. To znaczy: symplektyczną, symetryczną, dodatnio określoną.

 

Twierdzenie: S^1/2 jest też macierzą symplektyczną.

 

Dowód: Z założenia S jest macierzą symplektyczną, zatem spełnia

 

S^TJS = J.

 

Z założenia S jest macierzą symetryczną, S = S^T, zatem mamy

 

SJS = J

 

Mnożymy przez S^-1 z prawej:

 

SJ = J S^-1

 

Mnożymy przez J^T z prawej

 

S = JS^-1J^T(x)

 

Ale S^-1 = S^-1/2S^-1/2= S^-1/2J^T J S^-1/2

 

Wstawiamy do formuły (x)

 

S = JS^-1/2J^T J S^-1/2J^T= (J S^-1/2J^T)²

 

Teraz kluczowa obserwacja: macierz (J S^-1/2J^T) jest macierzą symetryczną, dodatnio określoną. Dlaczego? Że S^-1/2 jest taką macierzą, to już wiemy ze wstępnych rozważań. Tutaj mamy ją obudowaną w szczęki – wchodzi pomiędzy J i J^T. Symetryczność wynika prosto. Dodatniość można łatwo wyprowadzić z definicji 1) macierzy dodatnich, biorąc pod uwagę fakt, że J jest nieosobliwa. Tutaj pominę ten fragment dowodzenia, jak ktoś będzie miał pytania – możemy podyskutować w komentarzach.

 

Skoro (J S^-1/2J^T) jest dodatnia i jej kwadrat jest równy S, to (J S^-1/2J^T) jest pierwiastkiem kwadratowym z macierzy S:

 

S^1/2 = J S^-1/2J^T

 

Mnożymy z prawej najpierw przez J

 

S^1/2J= J S^-1/2

 

potem przez S^1/2

 

S^1/2JS^1/2 = J

 

Ale S^1/2 jest macierzą symetryczną, zatem S^1/2= (S^1/2)^T, możemy więc napisać:

 

(S^1/2)^TJS^1/2 = J

 

To zaś, z definicji symplektyczności, oznacza, że S^1/2 jest macierzą symplektyczną. Co było do okazania.

 

Dowód wypadł trochę długi, ale za to łatwy. Oczywiście nie tak prosto powtórzyć go od razu samemu, z pamięci. To tak ja z muzyką: trzeba ćwiczyć, ćwiczyć i jeszcze raz ćwiczyć.