Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
720
BLOG

Symplektyczny moduł i faza

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 42

 Notka niniejsza jest kontynuacją poprzedniej notki: „Symplektyczne życie w symplektycznych blokach”. Zobaczymy w niej, że faza i moduł symplektycznej macierzy są same symplektyczne. To ważna informacja. Rozkładając macierz symplektyczną na moduł i fazę pozostajemy w symplektycznej rodzinie.

 
Przez fazę rozumiemy zazwyczaj kąt. Przez moduł rozumiemy zazwyczaj liczbę nieujemną. Jednak pojęcie faza i moduł daje się uogólnić na macierze, kiedy to zarówno faza jak i moduł same są macierzami. Interesuje nas następująca wersja twierdzenia o rozkładzie biegunowym macierzy:
 
Niech A będzie rzeczywistą macierzą kwadratową mxm, nieosobliwą (tzn. det(A) różny od zera). Istnieją wtedy rzeczywiste macierze kwadratowe: symetryczna, dodatnio określona T, i macierz ortogonalna U takie, że
 
A = TU
 
Rozkład taki jest jednoznaczny, tzn. takie T i U są określone przez A jednoznacznie. A konkretnie:
 
T = (AAT)1/2
U = T-1A
 
T to macierzowe uogólnienie modułu, U to macierzowe uogólnienie fazy.
 
Podobne twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy zespolonych. W tym przypadku T jest macierzą hermitowską, dodatnio określoną, U jest macierzą unitarną.
 
Ponieważ macierze na ogół nie są przemienne ze sobą, istnieje też inna wersja tego twierdzenia, gdzie rozkładamy: A = UT. Oczywiście moduł i faza z rozkładu A=UT nie będą na ogół te same co moduł i faza z rozkładu A=TU.
 
W książkach zazwyczaj podaje się to twierdzenie dla macierzy zespolonych. Dla macierzy rzeczywistych najczęściej jest omijane. Ponadto w książkach można znaleźć to twierdzenie w bardziej skomplikowanej wersji, gdy nie zakłada się iż A jest nieosobliwa. Nam taka komplikacja nie będzie potrzebna.
 
Oczywiście można użyć innych literek na oznaczenie modułu i fazy.
 
Intuicja jest taka, że każda macierz opisuje jakąś liniową transformację/deformację. Każdą taką deformację można rozłożyć na sztywny obrót i na „przyduszenie w jednych kierunkach i rozciągnięcie w innych”. Sztywny, zachowujący kąty i odległości obrót jest opisany macierzą ortogonalną, natomiast przyduszanie/rozciąganie jest opisane przez macierz dodatnią. Tak się tego używa w elasto-mechanice.
 
To co ważne, to to, że macierz (AAT) jest (przy naszym założeniu o nieosobliwości macierzy A) zawsze dodatnio określona, zatem wyciąganie z takiej macierzy dodatniego pierwiastka kwadratowego jest dobrze określone: macierz (AAT) jest symetryczna, diagonalizujemy macierzą ortogonalną, dostajemy dodatnie wartości własne, wyciągamy z nich pierwiastki, oddiagonalizowujemy.
 
Weźmy teraz macierz symplektyczną S. Ta spełnia, z definicji, równanie
 
STJS = J
 
Biorąc wyznacznik z obu stron, i biorąc pod uwagę fakt, że det(ST)=det(S), dostajemy
 
(det(S))2=1
 
Zatem S jest nieosobliwa. Ma więc rozkład biegunowy
 
S = TU
 
gdzie T dodatnio określona zaś U ortogonalna. Nie wiemy jednak czy T i U są macierzami symplektycznymi czy nie? Otóż okazuje się, że zarówno moduł jak i faza macierzy symplektycznej są same macierzami symplektycznymi. Czyli: pozostajemy w rodzinie! Dowód tego faktu opiera się na jednoznaczności rozkładu biegunowego. Logicznie jest on prosty choć nieco chytry. Wymaga naprężenia umysłu. Oto ten dowód wypisany na tablicy. Zauważmy przy tym, że warunek
 
STJS = J
 
można zapisać w nieco innej formie:
 
S-1= -JSTJ
 

symplectic polar decomposition

 

symplectic polar decomposition

 
symplectic polar decomposition proof
 
Uwaga: Oczywiście, zapewne można tej własności dowieść inaczej. Choć nie bardzo wiem jak. Że (SST) jest symplektyczne, to jasne. Że wyciągnie pierwiastka symplektyczności nie psuje - to trudniej.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie