Ech, to pole!

Polska, pole. Cytując z Wikipedii:

Według jednej z teorii nazwa ta wywodzi się od plemienia Polan, zamieszkującego tereny obecnej Wielkopolski. Słowo Polanie zaś przeważnie wywodzone jest od słowa pole, w związku albo z rolnictwem jako głównym zajęciem plemienia, albo zamieszkiwaniem przez nich równinnych terenów (w odróżnieniu od innych plemion, np. Wiślan czy Mazowszan.

A ja myślę, że szło o pole powierzchni.

Było to w Hamburgu,w DESY.

Spędzałem tam cały rok. Poproszono mnie bym wyjaśnił fizykom trudne problemy geometrii. Skoro jest popyt, musi być i podaż. Zacząłem się intensywnie douczać, co tydzień dawałem wykład zainteresowanej tym grupce fizyko-matematyków.

DESY

Znali świetnie algebry, z geometrią było u nich cienko. Douczając się i wykładając rozmyślałem. W pewnym momencie, było to w lecie, przyszła mi do głowy pewna idea: geometria oparta jest na pojęciu długości. Ale czy nie można oprzeć jej na polu powierzchni jako czymś nawet bardziej pierwotnym niż długość. Z wektorów można zbudować równoległobok. Ale można wyjść też od równoległoboku. Wtedy wektor pojawi się jako spłaszczony równoległobok. Pole elektromagnetyczne to dwu forma a nie wektor. A co jeśli pole elektromagnetyczne uznać za pierwotniejsze od pola grawitacyjnego? Zacząłem jak zwariowany w podnieceniu rachować. Wydawało mi się, że jestem na tropie wielkiego odkrycia. Nie mogłem spać, halucynowałem, że śledzi mnie ukryte oko. Psychika odbiła się na zdrowiu fizycznym. Zaczęła mi cierpnąć prawa ręka, do tego stopnia, że niemal już nie mogłem pisać.

W końcu byłem zmuszony to szaleństwo odłożyć na kiedy indziej: kiedyś, w przyszłości, tak sobie pomyślałem. Jeszcze nie dziś. To zbyt niebezpieczne.

Ta przyszłość jest dzisiaj. Wracam do pola. Każdy chyba wkuwał kiedyś wzór na pole równoległoboku: podstawa razy wysokość. Niektórzy być może pamiętają nawet skąd się ten wzór bierze:

Jest także inny wzór, można go znaleźć w Wikipedii:

S = ab sin alpha

Jest wszak też jeszcze inny wzór. Można go znaleźć w angielskiej Wikipedii pod hasłem „Exterior algebra”

Pole powierzchni (zorientowane, bo wartość może być zarówno liczbą dodatnią jak i ujemną, zależnie od orientacji wektorów na których zbudowany jest równoległobok) to wyznacznik macierzy zbudowanej z (różnic) współrzędnych wierzchołków.

Powróćmy teraz do poprzedniej notki, Symplektyczne tańce. Doszliśmy tam do tego, że każda forma biliniowa antysymetryczna (czasem mówi się też „skośnie symetryczna”, czasem „alternowana”) niezdegenerowana z konieczności mieszka w przestrzeni parzysto-wymiarowej, wymiaru 2n, i zawsze można wybrać bazę tak, że w bazie tej macierz naszej formy ma postać

J =

0 I

-I 0

gdzie 0 i I są macierzami kwadratowymi nxn, zerową i jednostkową.

W najprostszym przypadku n=1 i jesteśmy w przestrzeni dwuwymiarowej, czyli na płaszczyźnie. Mając dwa wektory u,v, budujące równoległobok, o współrzędnych u=(u1,u2},v=(v1,v2), możemy obliczyć na nich naszą formę:

f(u,v) = u^TF v = u1 v2 – u2 v1

A jest to właśnie wyznacznik, zatem pole równoległoboku.

Zatem formy symplektyczne to takie uogólnione pola. Ech. Te pola! Mój ulubiony geniusz, Burkhard Heim, oparł swą teorię ciała i duszy nie na długości Plancka, a na powierzchni Plancka.