Nauka podobno się symplektyzuje. Tak przynajmniej napisali w roku 1992 matematycy Mark J. Gotay i James A. Isenberg w Gazecie Matematyków.
Piszą: Geometria symplektyczna leży u samych podstaw fizyki i matematyki.
No, przesadzili. Geometria symplektyczna leży, być może, u podstaw dynamiki. Ale dynamika to za mało. Mamy bowiem jeszcze, jak ja to nazywam, binamikę, a także termodynamikę, informację, entropię. Tam owszem, geometria symplektyczna się przydaje, ale pierwotniejsza od symplektycznej jest tam geometria kontaktowa. Ta przydaje się także w ekonomii.
Jednak od czegoś trzeba zacząć. Zaczynam od geometrii symplektycznej. Geometria jest trochę trudna. Łatwiejsza od geometrii jest algebra. Algebra podobno pochodzi od diabła. Więc zaczynam od algebry.
Powiedzmy, że mamy przestrzeń wektorową V, rzeczywistą, a w niej formę
biliniową antysymetryczną f:
f(x,y) = -f(y,x).
(Uwaga: by było mi łatwiej pisać formuły, indeksy pisał będę w sposób niekonwencjonalny)
Co z taką formą robimy? Powiedzmy, że nasza przestrzeń jest n-wymiarowa. Istnieje tam zatem baza e1,....,en. Wektory bazy rozpinają całą przestrzeń. Gdy mamy bazę, wtedy z formą f możemy związać macierz F
F[i,j] = f(ei,ej).
Ponieważ forma jest antysymetryczna, zatem i nasza macierz jest antysymetryczna:
F[i,j] = -F[j,i]
Stawiamy sobie teraz takie zadanie: przy danej formie antysymetrycznej f dobrać bazę tak, by macierz naszej formy w dobranej bazie miała możliwie prostą postać.
Temu prostemu problemowi poświęcam dzisiejszą notkę.
Nasza forma f może się okazać zdegenerowana. Co to znaczy? To znaczy, że mogą istnieć wektory x ortogonalne do wszystkich wektorów y z przestrzeni:
f(x,y) = 0 dla wszystkich y.
Oznaczmy przez V0 zbiór takich wszystkich x. Ponieważ forma f jest biliniowa, V0 jest liniową podprzestrzenią przestrzeni V. Może się okazać, że V0 zawiera jedynie wektor zerowy. Wtedy formę f nazywamy niezdegenerowaną. Na podprzestrzeni V0 forma f po prostu znika:
f(x,x') = 0 dla każdych x,x' z V0. Podprzestrzeń V0 jest, z punktu widzenia formy f, nieinteresująca. Gdy V0 nie składa się jedynie z wektora zerowego, wtedy wybieramy jakąś bazę e[1],...,e[k] w V0. Wtedy
F[i,j] = 0 dla i,j=1,...,k
Może się okazać, że V0 to całe V. Wtedy macierz F to macierz samych zer. Nasze zadanie jest rozwiązane.
Założmy, że V0 nie jest całą przestrzenią.
Bierzemy teraz jakąś podprzestrzeń V1 dopełniającą V0 do całej przestrzeni. Takich V1 jest na ogół nieskończenie wiele. Wybieramy jakieś jedno. Na V1 nasza forma jest już niezdegenerowana. W samej rzeczy, gdyby w V1 istniał x ortogonalny do wszystkich y z V1, wtedy, będąc ortogonalnym do wszystkich y z V0, byłby ortogonalny do wszystkich y z V, zatem należałby do V0. A przecież należy V1, t.j. do dopełnienia V0.
Wybierzmy dowolny niezerowy wektor e[k+1] w V1. Nie może być ortogonalny do całej V1, zatem istnieje jakieś y w V1 takie, że f(e[k+1],y)=c jest różne od zera. Połóżmy e[k+2]=y/c. Wtedy f(e[k+1],e[k+2])=1. Oczywiście, z powodu antysymetrii formy, f(e[k+2],e[k+1])= -1.
Może się teraz okazać, że wektory e[1],...,e[k],e[k+1],e[k+2] rozpinają całą przestrzeń V. Wtedy nasz problem jest rozwiązany. Na przykład dla k=3 nasza macierz F ma wtedy postać:
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 -1 0
Załóżmy jednak, że tak nie jest. Nich V11 będzie zbiorem tych wektorów z V1, które są ortogonalne zarówno do e[k+1] jak i do e[k+2].
Okazuje się, że wtedy każdy wektor x z V1 można rozłożyć na kombinację wektorów e[k+1],e[k+2] i wektor v11 z V11. Jak to zobaczyć? Przypuśćmy, że tak jest. Zapiszmy
x = ae[k+1]+be[k+2]+ v11
Wtedy
f(x,e[k+2]) = a
f(x,e[k+1]) = -b
Tak możemy zdefiniować a oraz b nawet bez przypuszczenia, które wszak dopiero mamy udowodnić. Zdefiniujmy więc:
a = f(x,e[k+2])
b= -f(x,e[k+1])
Dalej, zdefiniujmy
v11 = x -(ae[k+1]+be[k+2])
Elementarny rachunek (który, niestety, trzeba zrobić, a który opuszczam) pokazuje, że wtedy v11 jest ortogonalne zarówno do e[k+1] jak i e[k+2].
Pokazaliśmy zatem, że V11 jest popdprzestrzenią dopełniającą do dwuwymiarowej podprzestrzeni rozpiętej przez e[k+1],e[k+2] w V1.
Na V11 nasza forma jest niezdegenerowana. No jedziemy dalej, bawiąc się z V11 tak jak przedtem bawiliśmy się z V1. I tak czynimy póki nasza baza nie rozepnie całej przestrzeni.
Wynik jest zatem taki: zawsze można wybrać bazę w której macierz naszej formy ma postać:
Obrazek wzięty jest z wykładów Postnikova Lekcii po geometrii. Semestr II. Lineinaya algebra. Zauważmy, że tu wektory bazowe podprzestrzeni V0 ustawione są na końcu, a nie na początku, jak to jest u mnie. Zauważmy też, że Postnikov robi to porządnie, jak na matematyka przystało, używając indukcji matematycznej. Indukcja matematyczna to sformalizowanie mojego „i tak dalej, dopóki ..” W małpim języku, jak to nazywa Eine, indukcja matematyczna to „pain in the ass”. Nie sądzę, by jakiś matematyk tak do czegokolwiek dochodził. Jestem pewien, że dochodzi mniej więcej tak, jak ja to powyżej przedstawiłem. Potem szlifuje i ubiera w formę „indukcji”. Widz będzie wtedy klaskał w dłonie, jakie to formalnie ścisłe! Jednak nie będzie miał pojęcia jak się na to wpadło.
Z powyższego wynika m.in., że jeśli forma f jest niezdegenerowana, to wymiar przestrzeni V jest zawsze parzysty! Wektory bazowe ustawione są w pary. Jest wtym jakaś filozofia. Takie pary to pary dopełniające, dualne. W fizyce mogą to być pęd i położenie. W ekonomii mogą to być ilości ceny. Paul
A. Samuelson dostał nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii za teorię maksymizacji zysku. Geometria symplektyczna mu się przy tym przydała.
Przy okazji: przypadek Samuelsona jest podobny do mojej przygody z książką o kwantowych fraktalach. Z Wywiadu z Samuelsonem:
And what caused you to write your world-famous bestselling textbook?
All that I just said had no bearing on my textbook. The textbook was actually written upon invitation by the head of the department here at MIT. Every MIT student in the third year had to take two full semesters of introductory economics, and they hated it. And so he said to me: ‘Paul, would you take a few months off and write a text which they will like?’ And I agreed: ‘Sure, I’ll do it.’ What I didn’t realize was that it would take me three years and more of beastly hard work.
