Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
1032
BLOG

Symetria - antysymetria (notka nieudana)

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 49

Notka poniższa to przykład notki napisanej w czasie niemocy twórczej. W ostatnim komentarzu do Janusza Gorzowa napisałem, że tej notki nie opublikuję. Byłoby to jednak nie fair. Byłoby to zbyt mało oryginalne. Więc publikuję niniejszym notkę niedudaną. Twórca, normalnie, takie rzeczy wrzuca do kosza lub rwie. Jednak w ten sposób coś ukrywa. Nie chcę być twórcą.

*********************

Geometria oparta jest na symetrii. W tym zwykłym sensie i w tym mniej zwykłym. W tym zwykłym, bowiem koło i kwadrat są symetryczne, a bez kół i kwadratów trudno budować geometrię. W tym mniej zwykłym, bowiem podstawą geometrii są kąty, kąt zaś jest symetryczny: kąt między prostą L i prostą K jest ten sam co między prostą K i prostą L, jeśli umówimy się, że kąt pomiędzy prostymi jest zawsze mniejszy lub równy 180 stopni. Kąt opera się na iloczynie skalarnym wektorów. A ten jest symetryczny.
 
Jednak w fizyce, w mechanice klasycznej i kwantowej, w elektromagnetyźmie, pojawia się też antysymetria. Antysymetryczne są nawiasy Poissona, komutatory. Antysymetryczny jest tensor pola elektromagnetycznego. Antysymetria ma coś wspólnego ze światem mmiej znanym naszym zmysłom. A jednak jest ważna.
 
W dalszym ciągu będziemy zakładać, że pracujemy nad ciałem liczb rzeczywistych R.
 
Dla każdej macierzy A mamy macierz transponowaną At
 
Macierz jest symetryczna gdy A = At, jest antysymetryczna gdy A = -At,
 
Na przykład
 
[1 2]
[2 3]
 
jest macierzą symetryczną.
 
[0 2]
[-2 0]
 
jest macierzą antysymetryczną. Macierz antysymetryczna musi mieć na przekątnej zera!
 
Jeden znak a tak wiele znaczy. O macierzach antysymetrycznych uczymy się znacznie mniej niż o tych symetrycznych. Są trudniejsze w obsłudze.
 
Mając macierz antysymetryczną A, możemy utworzyć formę dwuliniową, funkcję A od dwóch wektorów x,y, liniową w każdym z argumentów.
 
A(x,y) = atAy
 
Forma ta jest antysymetryczna: A(x,y) = -A(y,x). W szczególności A(x,x) = - A(x,x) musi być równe zeru. Szczególnie regularne są macierze antysymetryczne o wyznaczniku różnym od zera. Dla takich macierzy forma A(x,y) jest niezdegenerowana:
 
jeśli A(x,y) = 0 dla wszystkich x, to y musi być zerem. Forma dwuliniowa antysymetryczna i niezdegenerowana nazywa się też formą symplektyczną.
 
Każdą formę dwuliniową F można przedstawić jako sumę F= A + B, dwóch form: symetrycznej B i antysymetrycznej A. Wystarczy w tym celu położyć:
 
B(x,y) = (F(x,y) +F(y,x))/2
 
A(x,y) = (F(x,y) – F(y,x))/2
 
W Wikipedii znaleźć możemy:
 
 
Za pomocą formy dwuliniowej można wprowadzić pojęcie (uogólnionej) ortogonalności: wektory x i y są ortogonalne, co zapisuje się xy względem dwuliniowej formy B wtedy i tylko wtedy, gdy
B(x,y) = 0.
Taka definicja ortogonalności ma sens dla form symetrycznych i antysymetrycznych. W tych dwóch przypadkach relacja ortogonalności jest relacją symetryczną: x jest ortogonalne do y wtedy i tylko wtedy gdy y jest ortogonalne do x. Wynika to z faktu, że 0 = -0. W samej rzeczy 0 jest jedyną liczbą o tej własności.
 
Wikipedia powiada:
 
Dla podprzestrzeni W oraz wektora x przestrzeni V pisze się xW jeżeli xy
dla wszystkich y z przestrzeni W. (tu w Wikipedii mylnie napisali literkę w zamiast y)
Podobnie Wx oraz UV gdzie U jest pewną podprzestrzenią liniową (definicje te rozszerza się często na dowolne podzbiory). Relacja xy nie musi pociągać, ani być pociągana przez yx Najważniejszymi formami dwuliniowymi są te, dla których relacja  jest symetryczna, tzn.
xy wtedy i tylko wtedy gdy yx
co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy forma ją definiująca jest refleksywna (tzn. symetryczna bądź alternująca). Wówczas dla dowolnej podprzestrzeni W można zdefiniować zbiór
W= {x: xy dla każdego y należącego do W}
tworzący przestrzeń liniową nazywaną dalej podprzestrzenią ortogonalną do W, w literaturze częściej spotyka się nazwę „dopełnienie ortogonalne”, choć w ogólnym przypadku wcale nie musi być dopełnieniem, gdyż może się zdarzyć, iż W + Wjest różne od całego V.

 
Z powodów, które, na razie, tylko mi są znane, będę pisał więcej o formach i macierzach antysymetrycznych.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie