Mamy jesień Roku Pańskiego 2013. A ja co robię? Oscyluję. Niby czas by się jakoś ustabilizować. Ale nie mogę. Opętały mnie okręgi, sfery, fraktale – rzeczy nikomu do niczego nieprzydatne. Póki co. Kiedyś, w dalekiej przyszłości, fraktale staną się użyteczne. Będziemy myśleć: „Jak można tak długo żyć bez fraktali?” Ale dziś to po prostu beztroska zabawa.
Jeszcze żeby tylko fraktale! A tu mi się w czterech wymiarach znudziło i przywołuję ten piąty!
Bo to jest tak. Jest sobie taka dość powszechnie znana bajka o Czerwonym Kapturku. I jest inna bajka, znana w niektórych kołach pod nazwą „Teoria Względności”. Jest ta Szczególna i jest ta Ogólna. Trochę się ze sobą mieszają. W każdym razie dają się mieszać. W tej szczególnej mamy do czynienia z „grupą przekształceń”. Ta grupa to grupa Lorentza. Tak się ją zwykło nazywać. Przekształcenia Lorentza mieszają przestrzeń z czasem. Matematycznie oznacza się ją symbolem O(3,1). „O” bo „ortogonalne”. „3” bo przestrzeń ma trzy wymiary. „1” bo czas ma jeden wymiar. Wyprowadzono tę grupę badając matematyczne własności rozwiązań równań Maxwella – równań, które jakoby opisują zachowanie się fal elektromagnetycznych i świetlnych.
Ale przecież można do tej samej grupy dojść także w inny sposób. Wspomniałem o tym w moje pracy „Konforemnie skompaktyfikowana przestrzeń Minkowskiego: Mity i fakty”. Pisałem tam m.in. przy końcu rozdziału 2.3:
„Pouczającym jest zauważenie jak grupy Lorentza, Poincarego i grupa konforemna w sposób naturalny wchodzą na scenę bez żadnego filozoficznego ładunku teorii względności Einsteina.
Możemy założyć istnienie absolutnego czasu. Możemy również założyć istnienie absolutnej przestrzeni....”
Grupa Lorenza pojawia się jako grupa działająca na okręgi na dwuwymiarowej sferze. A dwuwymiarowa sfera to przestrzeń życiowa moich kwantowych fraktali! Ot, taka zabawa w matematykę.
Każdy okrąg ma promień. Okrąg o promieniu zerowym to punkt. A okrąg o promieniu ujemnym? Taki okrąg w naszym świecie nie istnieje. Dodajmy więć „antyświat”. Tam żyją okręgi o promieniu ujemnym. Matematycznie można to zrobić dość łatwo. Gdy to zrobimy, przechodzimy od grupy Lorentza O(3,1) do grupy O(3,2), znanej też jako grupa symetrii przestrzeni anty- de Sittera. Teraz czas jest dwuwymiarowy. Można powiedzieć: „zespolony”. Jest czas rzeczywisty – to nasz czas, ale jest też urojona składowa czasu. Albo inaczej: czas ma wartość i fazę. Tą fazą nikt się dotąd raczej nie przejmował. Więc postanowiłem się jej przyjrzeć. Miast robić moje fraktale z punktów, zacząłem robić je z okręgów. Robiąc mój fraktal pozwalam na przejścia ze świata do antyświata i z powrotem. I co się okazuje? Ano okazuje się, że dla fraktali pozostawanie w naszym świecie jest mocno niestabilne. Na obrazku wygląda to tak:
Linia zielona, to faza równa zeru. Kolor czerwony to gdy fraktal żyje tylko w naszym świecie. Kolor niebieski to gdy żyje tylko w antyświecie. Os pozioma to prędkość rzeczywista. Oś pionowa to prędkość urojona. Widać, że mamy chaos. Jednak widać też, że są obszary w miarę stabilne – całkowicie czerwone lub całkowicie niebieskie. Spekulując: życie nie byłoby stabilne w czterech wymiarach. Domieszka piątego wymiaru, choćby niewielka, jest potrzebna do stabilności życia.
Co jeszcze z tego chaosu kropek na obrazku może wynikać? Chaos to nieprzewidywalność. W mechanice kwantowej mamy do czynienia z nieprzewidywalnością. Być może ta kwantowo-mechaniczna nieprzewidywalność związana jest z czułością na niewidoczną dla nas urojoną składową czasu?
I na koniec: w komentarzu pod poprzednią notką Henperol sugerował by z każdym krokiem zmieniać fazę. No więc to wymodelowałem na przykładzie fraktala opartego na ośmiościanie foremnym. Zrobiłem 100 mln iteracji, za każdym razem zwiększając fazę o 0.1 radiana. Naniosłem na sferę środki wygenerowanych okręgów. Wyszedł znany nam fraktal na sferze, tyle, że nieco zamazany.
I tyle na niedzielę, 6 października, Roku Pańskiego 2013.
