Po wakacyjno-konferencyjnej przerwie wracam do kwantów.
Bodaj najważniejszym równaniem mechaniki kwantowej jest równanie Schrodingera. W dostosowanym do skali obiektów
Psi jest tu funkcją falową, zależną od x i t. Dla uproszczenia zakładam, że mamy do czynienia z jednym tylko wymiarem – „x”. Dodanie y i z niewiele nowego do omawianych tutaj spraw wnosi. Mamy też jeden wymiar czasowy, reprezentowany przez zmienną „t”. Dla danej chwili t funkcja falowa psi zależy jakoś od x. W równaniu Schrodingera przy „t” pojawia się urojone „i”. Stąd funkcja falowa ma na ogół wartości zespolone: część rzeczywistą i część urojoną. Równanie Schrodingera wiąże te obie części w jeden obiekt.
Co reprezentuje funkcja falowa? Są tu w obiegu różne filozofie. Moja hipoteza robocza jest taka: Psi koduje informację o stanie obiektu który opisujemy. Ten obiekt umownie nazywamy „cząstką”. Oczywiście natychmiast pojawia się pytanie: jeśli informację, to „czyją informację”. Bowiem różni ludzie mogą mieć różne informacje. Czy zatem będą używać różnych psi? Czy psi jest zatem zawsze subiektywne? Odpowiedź na to pytanie jest względnie prosta: informację mamy na podstawie „danych”. „Dane” istnieją obiektywnie. Ludzie mogą mieć niepełne dane. Jeśli jednak uwzględnimy wszystkie obiektywnie istniejące dane, wtedy na podstawie tych danych możemy użyć jakiejś metodologii jednoznacznie określającej Psi. Pozostaje zatem problem: której z wielu możliwych metodologii? Nie mam pełnej odpowiedzi na to pytanie, łatwo jednak sobie wyobrazić, że takowa metodologia istnieje – w znajdowanie takich metodologii bawią się statystycy i probabiliści. Metody Bayesa, „maximal likelikehood” i podobne.
Skoro mamy równanie to wypada coś z nim zrobić. Równania są zazwyczaj po to by je rozwiązywać. Rozwiązanie równania Schrodingera (a mam tu na myśli równanie Schrodingera z czasem, bo często interesują nas rozwiązania stacjonarne, gdzie w czasie zmienia się jedynie faza a nie amplituda psi) powie nam o tym jak zmienia się zakodowany stan układu kwantowego w czasie. To trochę tak jak gdy rozwiązujemy równania ruchu Newtona by stwierdzić jak zmieniają się położenia planet w czasie. Tutaj mamy jedną tylko planetkę i to jakoś rozmytą, rozmycie zakodowane jest właśnie w Psi.
Jak zatem znaleźć rozwiązania równania Schrodingera? Jak te rozwiązania analizować? Jak się z takiej analizy czegoś nauczyć?
W równaniu Schrodingera ważne jest to, że jest ono równaniem liniowym ze względu na Psi. Suma dwóch rozwiązań tego równania jest rozwiązaniem tego samego równania. Podobnie kombinacje postaci c1 Psi1 + c2 Psi2, gdzie c1 i c2 są stałymi (mogą być stałymi zespolonymi). Mówimy, że zbiór rozwiązań tego równania tworzy przestrzeń liniową. Skoro tak, to wystarczy znaleźć „bazę” w tej przestrzeni, wystarczy znaleźć zbiór rozwiązań takich, by każde inne rozwiązanie było kombinacją tych podstawowych rozwiązań. W jednej z poprzednich notek zrobiliśmy tak dla równania przewodnictwa cieplnego – gdy rozkładaliśmy temperaturę na funkcje trygonometryczne – sinusy i cosinusy. Temperatura była wielkością rzeczywistą, Psi jest zespolone. Naturalniejszym jest więc szukanie rozwiązań równania Schrodingera rozkładając Psi na funkcje zespolone exp(ikx)=cos(kx)+isin(kx). Te mają bowiem zarówno część rzeczywistą jak i część urojoną.
W równaniu przewodnictwa cieplnego nie było też V – kodującego energię potencjalną, zatem i siły działające na nasz obiekt. Zatem i tu, na początek, załóżmy, że V = 0. Nie ma żadnych „sił” zewnętrznych. Mamy „cząstkę swobodną” poruszającą się na linii. W mechanice Newtona taka cząstka będzie poruszać się ruchem jednostajnym, ze stałą prędkością. A co otrzymamy z równania Schrodingera?
Zajmiemy się tym w następnej notce.
