Równanie Schrodingera wygląda trochę podobnie do równania ciepła. Ale i trochę niepodobnie:
Po pierwsze, po lewej stronie stoi urojone i. Oznacza to, że równanie to to w istocie para równań: jedno na część rzeczywistą Psi, i jedno na część urojoną. Mógłbym tego i uniknąć zapisując zamiast jednego równania układ dwóch równań rzeczywistych:
Takie rozbicie jest czasem przydatne przy symulacjach numerycznych. Zależy to jednak od tego w jaki sposób rozwiązania tego równania kodujemy. Czasem warto, czasem trzeba, a czasem nie warto i nie trzeba.
Poza tym pojawia się w naszym równaniu potencjał sił działających na cząstkę, zakodowany w wyrażeniu na energię potencjalną V(x). W równaniu przewodnictwa cieplnego zazwyczaj podobnego członu nie ma. No, chyba, że ośrodek w którym ciepło się rozchodzi jest jakiś dziwny. W mechanice kwantowej sprawy stają się dopiero ciekawe gdy mamy jakieś siły. Bo jak sił nie ma, to nic też ciekawego z cząstką nie będzie się dziać.
No, jedna dość ciekawa rzecz się dzieje, ale zostawmy ją na potem. To tzw. rozpływanie pakietów falowych. Ciekawe, ale nie porywające.
Siły działające na cząstkę są zakodowane w wyrażeniu na energię potencjalną V. Jest to zwykle energia cząstki naładowanej w kulombowskim polu elektrycznym. Siły magnetyczne koduje się inaczej, nie poprzez potencjał skalarny wchodzący w V, ale poprzez potencjał wektorowy A. Ale to znów inna sprawa.
Masa m – to masa cząstki. Mamy też stałą Plancka hbar. I to pojawia się ona po obu stronach.
Będę chciał zając się numeryczną symulacją rozwiązań równania Schrodingera. Aby to zrobić, podobnie jak to było w przypadku równania ciepła, trzeba wprowadzić jakieś zmienne bezwymiarowe. Tutaj jednak nie ma sensu umawianie się, że x będziemy mierzyć w metrach. Równanie Schrodingera ma zastosowanie raczej w innej skali, w skali atomowej. Trzeba więc dobrać odpowiednie jednostki długości, czasu, pewnie i energii.
I tym się zajmiemy w następnej notce.
Póki co zauważmy, że zapisałem równanie Schrodingera w jednym wymiarze. Jest tylko x. Nie ma y i z. Nie precyzuję też, czy moja kwantowa cząstka, której „stan” chcę opisać, czy ma ona do dyspozycji całą prostą, czy też może uwięziona jest na okręgu, albo zamknięta w pudełku. Tym trzeba się będzie zająć przy numerycznych symulacjach i przy dyskusji propagatora.
Pytanie-Zadanie: Czy nie dałoby się wymyśleć jakiegoś błądzenia pijanej pary, której rozkład prawdopodobieństwa oddawałby zachowanie się propagatora dla równania Schrodingera? Podobnie jak to było dla ciepła?
