Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
1598
BLOG

Propagator ciepła

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 75

 

Wokół rozchodzi się ciepło. Po okręgu. Startuje z jednego punktu i rozchodzi w kółko i w kółko. Po jakimś czasie jest wszędzie. Na początku, na samym początku, jest tylko w jednym punkcie. Nazwijmy ten punkt nieskończonością. Nieskończoność powinna być na górze. Więc tam ją wstawmy. Wielki Początek. Wielki Wybuch. Punkt Zero. Punkt alpha. Na początku jest Alpha. Na końcu Omega. Końcem na razie się nie martwmy. Początek – początkiem, a co po początku? Po początku następuje propagacja ciepła. Do tego potrzebny jest pewien Mechanizm. Ten Mechanizm to Propagator.
 
Propagator to pewien Kod. Kody zapisujemy w języku matematyki. Jak zapisać propagator ciepła na okręgu? Od czasów Fouriera ten kod znamy. Tak to wygląda:
 
propagator ciepła
 
Czyż nie piękny?
 
W formule tej x jest położeniem punktu na okręgu, w radianach, zmienia się od 0 to 2 pi. Albo, jeśli ktos woli, od -pi do pi. Na okregu na to samo wychodzi - byle w kółko.
 
A co to jest t? To czas. Musi, ale to musi, pod karą piekła, być większe od zera. Chwila t=0 to Początek. Jest nam, zwykłym śmiertelnikom, niedostępna.
 
No to zobaczmy jak się to ciepło propaguje. Narysujemy. W formule na propagator straszy jednak nieskończona suma. Żaden ziemski komputer takowej nie wytrzyma. Trzeba to sumowanie na jakimś n skończonym urwać. Na jakim? Narysujmy parę wykresów dla różnych chwil i urywajmy sumę. Zobaczmy co wyjdzie. Przypomnę, że jeśli nasz kolisty Wszechświat zrobiony jest ze srebra (gdyby był ze szkła, to pewnie by prysnął w okamgnieniu z powodu naprężeń) i obręcz zrobiona jest z pręta o długości 1 m, to t=1 odpowiada 150 sekundom od chwili zero.
 
W chwili t=0 temperatura punktu Zero wynosi ∞ stopni Kelwina.
 
Reszta Wszechświata jest w zerze absolutnym (rozkład temperatury na początku to „delta Diraca”).
 
Jak zatem wygląda rozkład temperatury po, powiedzmy 1500 sekundach? Gdy t=10? Weźmy z naszej sumy jedynie pierwszy człon. Ten z n=1. Wykres wygląda tak:
 
 
Temperatura wygląda na stałą.
 
Jeśli jednak weźmiemy rozkład temperatury pod lupę, zobaczymy, że w okolicy punktu zero jest jednak nieco cieplej:
 
 
Uwzględnianie dalszych członów naszego nieskończonego szeregu niczego nowego do naszego obrazka nie wnosi. No, chyba, że chcielibyśmy używać coraz potężniejszych lup.
 
Zatem: dla t=10, przy naszej dokładności, wystarczył jeden tylko człon z nieskończonego szeregu!
 
Przejdźmy zatem do t=1, 150 sekund od Stworzenia Okręgu. (Może nadmienię, że mój okrąg nie rozszerza się, co upraszcza znacznie analizę. Rozszerzanie się czy kurczenie to jest zupełnie inna sprawa. Na inne kazanie).
 
 
Tu wystarczą trzy człony z szeregu. Dodawanie nowych nie zmienia wykresu (przy naszej rysunkowej dokładności).
 
Weźmy t = 0.5.
 
 
Najpierw formuła nieco wariuje, sugeruje temperatury ujemne. Jednak cztery człony wystarczają do stabilizacji.
 
Weźmy t = 0.2
 
 
Tu musiałem wziąć pięć członów z szeregu.
 
Weźmy t = 0.1.
 
 
Tutaj wziąłem 20 członów.
 
Weźmy t = 0.01
 
 
Pięćdziesiąt członów zachowuje się tak wariacko w pobliżu osi zera temperatury..
 
Jednak wysumowanie wszystkich pięćdziesięciu prowadzi już do całkiem przyzwoitego wykresu:
 
 
Czy bliżej zera czasu (Wielkiego Wybuchu) będziemy, tym temperatura w tym jednym punkcie będzie większa – aż do nieskończoności.
 
Nasz propagator ma tę własność, że, teoretycznie i numerycznie, rozwiązuje dowolne zagadnienie początkowe: jeśli mamy zadany początkowy rozkład temperatury u(x,0), to rozkład temperatury w chwili t dany jest całką:
 
 
u(x,t) = całka od 0 do 2 pi z Theta(x-y,t) u(y) dy
 
Oczywiście całkę wykonujemy wyraz po wyrazie szeregu (czyli całkujemy u(y) mnożone prze cosinusy). Wychodzi na to samo co rozkład na harmoniki.
 
Propagator to rzecz wielce pożyteczna. Teraz tylko zastąpić t przez it i mamy z głowy równanie Schrodingera!
 
Niestety. Możemy narysować wykres propagatora równania ciepła biorąc pięćdziesiąt członów szeregu:
 
 
Wygląda przyzwoicie. Jednak gdy zamienię tam t na it i narysuję wykres wartości bezwzględnej, wykres wariuje:
 
 
I czym więcej członów w szeregu uwzględnię, tym bardziej staje się poszarpany.
 
Mechanika kwantowa nie jest tak wyrozumiała jak ciepło!

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie