W ostatniej serii notek pisałem o równaniu ciepła. A skąd się to ciepło u mnie wzięło? Wzięło się stąd, że chciałem zająć się równaniem Schrodingera. Równanie ciepła jest podobne do równania Schrodingera: wystarczy tam czas wstawić urojony i już – czary-mary – z równania ciepła otrzymujemy równanie Schrodingera.
Mechanika kwantowa to takie ciepło w urojonym czasie. Ale czy na pewno? Czy to takie proste? Niby tak a niby nie.
Oto moje szybkie tłumaczenie tego fragmentu:
The idea of working in imaginary time has been applied to the problem of quantising gravity.
Ideę pracy w urojonym czasie zastosowano do kwantowania grawitacji.
Najbardziej zagorzałym zwolennikiem tego programu jest Stephen Hawking.
I am reminded of a TV programme about Hawking that was shown a few years ago;
Przypominam sobie program telewizyjny o Hawkingu pokazany przed kilku laty.
we see the Oxford relativist, P. K. Tod, beginning a lecture at Cambridge.
Widzimy w nim relatywistę P. K. Toda rozpoczynającego wykład w Cambridge.
After the metric, g_{mu,nu}, appears on the board, Stephen asks, what metric are you using, Lorentzian of Euclidean?
Gdy na tablicy pojawia się metryka g_{mu,nu}, Stephen pyta, jakiej to metryki Tod używa, lorentzowskiej czy euklidesowej?
Tod replies that being from Oxford, he was of course using the Lorentz metric.
Tod odpowiada, że, będąc z Oxfordu, oczywiście używa metryki Lorentza.
(AJ: Idzie o to, czy kwadrat długości w czasoprzestrzeni definiujemy jako
ds2 = dx2+ dy2+ dz2- dt2 (Lorentz), czy też ds2 = dx2+ dy2+ dz2+ dt2 (Euklides))
To this Stephen replies, "Oh! we gave that up years ago!".
Na to Stephen odpowiada: „Och, zarzuciliśmy to już dawno temu!”
Nowadays, the boot is rather on the other foot.
Dziś but znajduje się raczej na innej stopie. (Dziś stan rzeczy jest inny)
The analytic continuation to complex time was probably first introduced into quantum field theory by G. C. Wick in perturbation theory.
Metoda analitycznego przedłużenia do zespolonego czasu została przypuszczalnie wprowadzona do kwantowej teorii pola prze G.C. Wicka w teorii zaburzeń.
By replacing t by it, the (non-compact) Lorentz group is converted into the (compact) rotation group, and the Feynman integral into the Wiener integral, which exists.
Zastępując t przez it (niezwarta) grupa Lorentza zamienia się w (zwartą) grupę obrotów, zaś całka Feynmana przechodzi w całkę Wienera, która istnieje.
So the mathematics looks promising.
Zatem matematyka wygląda obiecująco.
The general idea was made rigorous in flat space-time in the early fifties by A. S. Wightman.
Ta ogólna idea została uczyniona matematycznie precyzyjną przez A.S. Wightmana we wczesnych latach pięćdziesiątych dla płaskiej czasoprzestrzeni.
One is to replace the Fourier transform of the vacuum expectation values by the Laplace transform.
Należy zastąpić transformatę Fouriera oczekiwanych wartości próżniowych transformatą Laplace'a.
To make sense, the energy must be bounded below.
By to jednak miało sens, energia musi być ograniczona z dołu.
Energy is the self-adjoint operator that generates the symmetry group of time translations.
Energia to operator samosprzężony generujący grupę symetrii przesunięć w czasie.
Unfortunately, a general space-time, used in general relativity, is not flat and the symmetry group does not seem to have a generator, let alone a positive one, according to Bernard Kay.
Niestety ogólna czasoprzestrzeń, ta używana w ogólnej teorii względności, nie jest płaska, i nie wygląda na to, że jej grupa symetrii ma generator, tym bardziej dodatni, jak to zauważył Bernard Kay.
So, the first step of the Euclidean programme fails.
Zatem pierwszy krok euklidesowago programu się wali.
Even so, the path integrals of quantum gravity can be formulated in imaginary time by optimists.
Pomimo tego optymiści formułują całki po trajektoriach kwantowej grawitacji w urojonym czasie.
However, the (necessary) step, to continue back to real time, has little prospect of being implemented.
Jednakże niezbędny (dla powodzenia programu) krok kolejny, przedłużyć na powrót do rzeczywistego czasu, ma małe szanse na powodzenie.
Most research groups in quantum gravity have voted with their feet, leaving Euclidean gravity as a lost cause.
Większość grup badawczych zajmujących się kwantową grawitacją zagłosowała nogami, porzucając euklidesową grawitację jako sprawę przegraną.
