Bo to jest tak:
Wychodzi pijak na okrąg. Okrąg jest podzielony na 360 klatek. Pijak robi krok w lewo lub w prawo – do najbliższej klatki. I tak sobie idzie, idzie, aż zrobi ileś tam tysięcy kroków.
Klatki mają numery k=1,2,....,360.
Kroki też numerujemy m=1,2,...., N.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pijak po m krokach znajdzie się w klatce z numerkiem k?
-
A) Można zrobić symulację na komputerze
-
B) Można spróbować policzyć
-
C) Można pomyśleć a potem symulować
Wybierzmy to ostatnie. Oznaczmy przez p(k,m) prawdopodobieństwo tego, że pijak po m+1 krokach znajdzie się w klatce z numerkiem k (oczywiście modulo 360).
Do klatki k mógł przyjść z klatki k-1 lub k+1, jeśli był tam w m-tym kroku. I jedno jest równie prawdopodobne jak drugie.
Zatem
p(k,m+1) = 0.5( p(k-1,m) + p(k+1,m) )
Odejmijmy od obydwu stron równania p(k,m) i zapiszmy tak:
p(k,m+1) – p(k,m) = 0.5( p(k-1,m) - 2p(k,m) + p(k+1,m) )
Ależ, ależ! Przecież dokładnie to samo równanie już było w notce „
Dyskretne ciepło”
Mieliśmy tam:
u(k,m+1) = u(k,m) + 0.52(u(k+1,m) + u(k-1,m) – 2u(k,m))
Współczynnik 0.52, okazało się wtedy, prowadził do katastrofy. Musi być nie większy niż 0.5. I tak dokładnie jest u naszego pijaka. Pijak nie taki znów głupi. Nie tylko wymyślił równanie przewodnictwa cieplnego, ale je jeszcze zasymulował z właściwym współczynnikiem!
Ktoś powie (Tichy?), że jeden pijak nie wystarczy, że potrzebna cała banda pijaków by ten algorytm zasymulowac i narysować wykres rozchodzenia się ciepła z jednego punktu. A ja Wam powiadam, że wystarczy jeden. Wystarczy dostatecznie długo go obserwować a jego drogę odpowiednio statystycznie obrobić. I będzie ciepło! Bo jeden pijak wie tyle co i cała banda. A to co wie przejawia się w jego błądzeniu.
