Ciepło się „rozchodzi”. Wiemy to z doświadczenia. Jest zaraźliwe. Jak jakiś punkt jest ciepły, to za chwilę i sąsiedni punkt coś z tej ciepłoty przejmie. A potem przekaże następnemu. Równanie ciepła inaczej nazywa się równaniem dyfuzji. Wpuśćmy krople atramentu do wody i patrzmy jak kolor się rozchodzi. Rozchodzą się i niektóre choroby. O, dziecko przyniosło grypę ze szkoły!
Jak takie procesy ważne w fizyce, biologii, medycynie, modelujemy matematycznie? Dobrym punktem wyjścia ilustrującym ten mechanizm jest błądzenie losowe. Jak dobrym? Przyjrzyjmy się. Zaczniemy od dyskretnego zbioru „atomów” w którym jeden atom jest „gorący”. To gorąco tego atomu będzie się propagować. Ciepło będzie dyfundować. A jak? Podobnie jak pijak. Pijak stoi w jakimś punkcie i nie może się zdecydować czy zrobić krok w prawo czy w lewo. Z równym prawdopodobieństwem może zrobić krok w prawo jak i w lewo. Jak będzie wyglądała droga takiego pijaka? Jak daleko zajdzie po, powiedzmy, tysiącu kroków? Czy w ogóle to pytanie ma sens? Może lepiej: czego możemy „oczekiwać” po tysiącu kroków? Z pewnością możemy oczekiwać tego, że nie odwiedzi punktu odległego o 1001 kroków. Ale jakie jest prawdopodobieństwo tego, że odwiedzi punkt odległy o 500 kroków? A ile razy wróci do punktu wyjściowego?
Albo: wypuśćmy tysiąc pijaków z tego samego punktu, i niechaj każdy wykona tysiąc kroków. Po tysiącu kroków jaki procent z nich znajdzie się w odległości 0 kroków, jednego kroku, dwóch kroków, …. od punktu wyjścia?
Albo: po tysiącu kroków tysiąca pijaków zobaczmy ilu z nich znajdzie się w każdym z punktów (zakładamy, że każdy krok ma długość, powiedzmy, jednego metra – dużo jak na pijaka?, nie szkodzi).
Oto przykładowe dwie drogi z symulacji komputerowej:
Czas (numery kolejnych kroków) jest na osi pionowej. Z dołu w górę. Położenia na osi poziomej.
A tu drogi 100 pijaków, każda ma 10000 kroków:
Tym razem czas jest na osi poziomej, położenie na osi pionowej.
Wiele ciekawych pytań się tu pojawia. To i owo można wyrachować. To i owo zasymulować. Póki co przyjmowaliśmy, że pijak nie napotyka na przeszkody. Ale co jak na drodze pojawi się ściana? Albo rów z wodą? Albo jeśli droga tak naprawdę zwija się w okrąg? A co jeśli okrąg ma długość, która nie nie jest całkowitą wielokrotnością długości kroku? A co jeśli damy spokój pijakom i zaczniemy przymierzać się do czegoś ambitniejszego, jak na przykład przewodnictwo cieplne i będziemy zmierzać z długością kroku i odstępem czasowym między krokami do zera?
I jak to się ma równania dyfuzji? Jak to się ma do harmonik z poprzedniej notki? Czy możliwe są „fale ciepła”? Kiedy?
Oj pytania-pytania. Spróbujemy na nie znaleźć odpowiedzi. Krok po kroku....
