Jest to odpowiedź na pytanie Adamosxa, z poprzedniej notki. Rozrosła mi się, więc jest niezapowiadana nowa notka:
Rozważamy, jak w poprzednich kilku notkach, pręt miedziany długości 1 m zwinięty w obręcz. Będziemy go malować (dla prostoty) na linii prostej. Położenie x punktu na pręcie będzie się zmieniać od -1/2 do 1/2. Tak prostsze wyjdą wzory. W końcu od nas zależy jak będziemy modelować
-1/2 ----------------- 0 ---------------- 1/2
Pamiętajmy tylko o tym, że koniec, x =1/2, łączy się z początkiem x = - 1/2. W myśli zatem zwijamy nasz pręt w okrąg.
Środek pręta nagrzewamy do 200 stopni Celsjusza. Przeciwny punkt na pręcie ma na początku temperaturę 0. Zakładamy, że początkowy rozkład temperatury jest liniowy w x. Na wykresie wygląda to tak:
Chcemy wiedzieć jak temperatura pręta będzie się zmieniać w czasie. Korzystamy z tego, że znamy nieskończenie wiele dokładnych rozwiązań równania ciepła – pisałem o tym w poprzedniej notce:
W naszym przypadku L = 1/2. Dla tau=0 (na początku) mamy tylko
sin(2n pi x) oraz cos(2n pi x).
Chcemy rozłożyć naszą temperaturę początkową na te sinusy i cosinusy. Nasza funkcja jest symetryczna, więc potrzebne nam tylko cosinusy.
Rozkładamy więc naszą temperaturę początkową na cosinusy, wyliczamy z formuł współczynniki, i już piszemy rozwiązanie:
Oto ono ogólnie
W naszym przypadku współczynniki Bn są wszystkie zerami, zaś współczynniki An wyliczamy wykonując całkowania naszej namiotowej funkcji. Wynik jest taki
A0 =100
An = 400 (1 - (-1)n )/(n2 pi2)
Widać, że An dla n parzystych są zerami. Zostają tylko n nieparzyste. Gdy dam tylko n=1,3,5,7,9 a resztę opuszczę, wtedy nasza suma cosinusów:
100 + 81.0569 cos(2 pi x) + 9.00623 cos(6 pi x) +3.24228 cos(10 pi x) + 1.65422 cos(14 pi x) + 1.0007 cos( 18 pi x)
(ze współczynnikami An) tak przybliża nasz namiot:
Widać, że czubek wychodzi jakiś zbyt zaokrąglony. A i końce rażą. Więc biorę n aż do 50. Oto wynik:
(Współczynnik A49 wynosi 0.0337597)
No, to możemy już znieść. Mogę więc teraz te moje współczynniki podstawić do rozwiązania dla temperatury tau zmieniającej się od 0 do, powiedzmy, 0.1, i dostaję taki wykres:
Jest to wykres dokładnego rozwiązania równania ciepła. Tyle, że rozkład początkowy temperatury przybliża jedynie nasze dane początkowe. Ale przybliża całkiem nieźle! Na oko nie widać żadnej różnicy!
Mając dokładne rozwiązanie naszego problemu możemy je porównać z przewidywaniami numerycznymi z notki „Dyskretne ciepło”. Porównanie wychodzi niezbyt pochlebnie dla zastosowanej przeze mnie metody dyskretnej. W metodzie dyskretnej błąd wynosi kilka procent (można go zmniejszyć poniżej jednego procenta zmniejszając odpowiednio dx i dt).
