Mamy równanie przewodnictwa cieplnego.
Chcemy użyć tego równania celem wymodelowania konkretnego zjawiska fizycznego. Trzeba się teraz zdecydować na powiązanie symboli matematycznych z wielkościami fizycznymi. Jak to zrobimy zależy od nas. Nie ma tu jednego przepisu. Można robić tak albo inaczej. Różne wybory winny prowadzić jednak do tych samych, ewentualnie różniących się jedynie „mało” wyników.
W naszym zagadnieniu występuje pręt, zakładamy, że jest jednorodny, z określonego materiału, o określonej długości. Szerokość, kolor, pomijamy. Pomijamy ewentualną niepewność co do długości. Zmierzyliśmy centymetrem, wyszło nam, powiedzmy dokładnie 100 cm. W czasie doświadczenia nie dostrzegamy znaczącej zmiany długości pręta. Przyjmijmy więc, że ma długość L = 1m.
Pręt jest z czego? Rozważmy dwa krańcowe przypadki:
a) z miedzi
b) ze szkła
Miedź miedzi nierówna, ani też szkło szkłu. Nie przejmujmy się w tej chwili takimi drobiazgami. Przecież chcemy zrozumieć najpierw samą metodę. Gdy pojmiemy metodę, wtedy będziemy mogli ją adaptować do każdego konkretnego przypadku. W tabeli danych materiałowych znajdujemy, że współczynnik dyfuzyjności cieplnej dla miedzi wynosi:
kappa = 0.000111 m2/s
Dla szkła (okiennego) wynosi
kappa = 0.00000034 m2/s
Odległość od ustalonego początku pręta będziemy mierzyć w metrach. Zatem x =0 oznacza początek pręta, x=1 oznacza koniec pręta, x = 0.1 oznacza 10 cm od początku pręta, x = 0.2 oznacza 20 cm od początku pręta itd.
A jak mierzyć czas? Tu warto wprowadzić jednostkę czasu charakterystyczną dla naszego problemu. Głupio by było mierzyć czas w latach. Nie ma też powodu by mierzyć go w dniach. Nie ma też powodu fizycznego by mierzyć go sekundach. Sekunda to dobra dla zegarów, bo tak są robione, że pokazują sekundy. Ale sam pręt nie wie przecież nic o naszych normach. Zamiast zmiennej t – czas, figurującej w równaniu, wprowadźmy więc nową zmienną, nazwę ją tau, daną wzorem:
tau = kappa t (Iloczyn kappa oraz t)
Dla miedzi mamy więc:
tau = 0.000111 t
Dla szkła
tau = 0.00000034 t.
Możemy stąd wyrazić t przez s:
Dla miedzi
t = tau/ 0.000111 s= 9009s
Dla szkła
t = tau/0.00000034 s = 2941180 s
Jeśli więc wymodelujemy nasz proces gdy tau będzie się zmieniać
od 0 do 1, będzie to odpowiadało 9009 s czyli ponad dwu godzinom dla miedzi, oraz 34 dniom szkła.
Wystarczy nam, na początek, wymodelować dla tau od 0 do 1/10. W parametrach tau i x nasz równanie ma teraz postać:
Stala kappa już tu nie występuje. Przeniosła się do związku pomiędzy t i tau.
Występują w tym równaniu jednak symbole pochodnych: pierwszej pochodnej po tau i drugiej pochodnej po x. Zarówno tau jak i x są zmiennymi ciągłymi. Chcemy przejść do zmiennych dyskretnych. Dzielimy więc nasz metr na N małych przedziałów każdy długości dx. Co wziąć za dx? Jaki to przedział uznać za „mały”?
Na początek podzielmy nasz metr na 20 przedziałów. Każdy długości 5 cm. Da nam to, jeśli włączamy końce pręta, 21 punktów. Zatem bierzemy
dx = 0.05
N = 20.
Teraz podzielmy nasz przedział czasowy na „małe” podprzedziały dtau. Jak małe? Jak często chcemy sprawdzać temperaturę w szkle? Codziennie? Co godzinę? 30 dni to ponad 600 godzin. Wygląda rozsądnie. Podzielmy więc przedział tau, gdy tau zmienia się od 0 do 0.1 na 75 podprzedziałów
dtau = 0.00133
Teraz zamiast pisać u(x,tau) będziemy pisać
u(k,m)
k zmienia się od 0 do 20, co 1, m zmienia się od 0 do 100, też co 1.
Tak więc u(10,100) oznacza temperaturę (umawiamy się na stopnie Celsjusza) w punkcie x = 10*dx = 50 cm od początku pręta, w chwili t = …
Tutaj t będzie inne dla miedzi, inne dla szkła. Dla miedzi
będzie 1198 sekund od początku doświadczenia, dla szkła ponad sto godzin od początku.
Bierzemy teraz jakiś wykład z metod numerycznych i przepisujemy nasze równanie różniczkowe na równanie różnicowe.
Oto formuła wzięta z takiego wykładu:
W naszych oznaczeniach i przy naszych umowach stała D jest równa 1, zaś dt/dx^2 tłumaczy się na 0.0013/0.05^2 = 0.52. Mamy więc takie równanie:
u(k,m+1) = u(k,m) + 0.52(u(k+1,m) + u(k-1,m) – 2u(k,m))
Temperatura w punkcie k w chwili m+1 jest zdeterminowana przez temperatury w tym i w dwóch sąsiednich punktach w chwili poprzedniej m.
Trzeba już tylko wstawić warunki początkowe i warunki brzegowe i zapuścić komputer do roboty. I patrzeć co wyjdzie. A wyjdzie albo coś rozsądnego albo wyjdą bzdury.
Uprzedzam: wyjdą bzdury. Dlaczego? Bo podręczniki i wykłady trzeba czytać uważnie, nie opuszczając komentarzy i uwag autorów. W tym wypadku wystarczy jeden podręcznik. Czasem trzeba zajrzeć do kilku....
Uwaga: Notkę kilkakrotnie zmieniałem. Mogłem przy zmianach czegoś nie dopatrzeć.
