Fizyka formułuje prawa przyrody w języku i przy użyciu narzędzi matematyki. My sami jesteśmy częścią przyrody, w zasadzie więc tym prawom powinniśmy podlegać. Czy jednak im podlegamy? A nawet jeśli, to czy zawsze i wszędzie? A nie ma to przypadkiem wyjątków? Czy są niemożliwe? Kto ich zabrania? Dlaczego? Po co?
Z tymi prawami przyrody to dość subtelna sprawa. Sami je odkrywamy, formułujemy, sami je zmieniamy.
Prawa przyrody - czyim są dziełem?
Znajdujemy bowiem granice stosowalności dawno ustalonych praw, znajdujemy sytuacje wyjątkowe, gdy konieczne są „poprawki”. Te poprawki czasem są niewielkie, a czasem ogromne. Zależnie od tego jakie efekty nas interesują. Podczas gdy w szkołach i na studiach nauczamy praw przyrody jak niewzruszonych kanonów, to w oryginalnych publikacjach naukowych nie znajdziemy tematów zakazanych. Podważa się dosłownie wszystko, dyskutuje się słabości i zalety tego co mamy i alternatywy na przyszłość. Sprawy z tymi prawami przyrody są więc dość śliskie. By jednak dyskutować dobrze jest je najpierw naprawdę dobrze poznać. Zatem zabierzmy się do ich poznawania.
Usiłowania wyjaśnienia i ilościowego opisu zjawisk obserwowanych na poziomie atomowym doprowadziły do konieczności porzucenia praw opartych na prawach mechaniki Newtona. Jak się uprzeć, to to i owo daje się jakoś w języku mechaniki klasycznej wymodelować, ale tylko to i owo. Tak powstała mechanika kwantowa. I nią się ostatnio zajmujemy. Jaki jest naprawdę zakres stosowalności praw przyrody wyrażonych w języku mechaniki kwantowej? Tego dobrze nie wiemy. Eksperci mają różne w tej sprawie opinie. Pole dla przyszłych badań. Zarówno teoretycznych jak i doświadczalnych.
Najprostszym układem kwantowym jest spin. Ale ten jest jakiś trochę abstrakcyjny. Lepiej zająć się jedną cząstką. A żeby sprawę uprościć ograniczamy jej swobodę tak, by mogła poruszać się jedynie po linii prostej. Przejście do dwóch i trzech wymiarów przestrzennych zostawiamy na potem.
Kwantowy stan takiej cząstki opisywany jest przy pomocy „wektora stanu”. Pisałem o tym w dwóch poprzednich notkach. Wektor stanu, albo „funkcja falowa”. Co ona robi? Tym się chcę zająć. Na razie takową jedynie malowaliśmy, by się z tym stworzeniem oswoić.
Funkcja falowa zmienia się z czasem. Ta zmiana w czasie opisywana jest równaniem Schrodingera. Równanie Schrodingera jest bodaj tak samo ważne jak druga zasada dynamiki Newtona. Można więc stwierdzić, że jest to sformułowanie jednego z bardzo ważnych praw przyrody. Tyle, że w zakresie do którego nasze zmysły nie mają bezpośredniego dostępu (tak się przynajmniej na pierwszy rzut oka wydaje, a czy tak jest, to już inna sprawa). Równanie Schrodingera może wydać się dziwnym, może kogoś zniechęcić. Więc może lepiej zacząć od czegoś podobnego a bardziej zrozumiałego? I tak zróbmy. Bo równanie Schrodingera jest bardzo podobne równania przewodnictwa cieplnego. A z przewodnictwem cieplnym każdy z nas jest na ty. Kto się bowiem kiedyś nie sparzył chwytając za gorący przedmiot?!
Powiedzmy mamy pręt żelazny o skończonej długości. Jeden koniec umieszczamy w płomieniu palnika. Drugi w naczyniu z lodem. Rozkład temperatury wzdłuż pręta będzie się zmieniał w w czasie. W końcu się jakoś tam ustabilizuje. Ale po jakim czasie i jak będzie wyglądał ten rozkład temperatury wzdłuż pręta po stabilizacji? Jaka będzie temperatura w środku pręta? A w jednej czwartej?
Można to wszystko pomierzyć, ale można i wyliczyć teoretycznie. Inżynier ciepłowni takie rzeczy powinien umieć wyliczyć. Z czego liczymy?
Otóż liczymy z równania przewodnictwa cieplnego, czasami zwanego również „równaniem dyfuzji”. Zakładając, że wewnątrz pręta nie ma jakichś źródeł ciepła, pręt jedynie przewodzi, wtedy rozkład temperatury wzdłuż pręta podlega równaniu przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy przez T(t,x) temperaturę w punkcie x w chwili t. Wtedy spełnione winno być równanie:
Zmiana temperatury w każdej dostatecznie małej jednostce czasu, w danym punkcie pręta, jest proporcjonalna do drugiej pochodnej temperatury względem x. Współczynnik proporcjonalności ( w naszym przypadku oznaczany jest przez alpha w kwadracie) zależy od rodzaju przewodnika cieplnego. Inny będzie dla żelaza a inny dla aluminium.
Nie istotne jest w tej chwili co to jest ta „druga pochodna”. Istotne jest to, że równanie Schrodingera dla funkcji falowej wygląda całkiem podobnie. Wystarczy mianowicie po lewej stronie napisać „i” i już mamy równanie Schrodingera:
Ze względu na obecność urojonego „i” rozwiązanie takiego równania nie może być funkcją rzeczywistą. No, chyba, że nic się nie zmienia w czasie. Wtedy może. Ale przecież zmiana w czasie nas interesuje. Zamieniłem więc T na Phi – bo to bardziej tajemnicze. Trzeba by nam jeszcze odszyfrować interpretację fizyczną stałej proporcjonalności. Okaże się odwrotnie proporcjonalna do masy cząstki.
Skoro równanie przewodnictwa cieplnego jest aż tak podobne do równania Schrodingera, to zapewne i metody rozwiązywania tych równań, ich symulacja komputerowa muszą być podobne? I tak i nie. To niepozorne „i” zmienia jednak wiele. Dobrze więc będzie przyjrzeć się i porównać. Zarówno rozwiązania jak i ich interpretację. Aby sprawę uprościć zrobię nasz pręt dyskretny, zamienię linię prosta na skończoną liczbę punktów. Zamienię tę „drugą pochodną” na proste wyrażenia arytmetyczne. Wtedy każdy będzie mógł równania rozwiązać przy pomocy prostych formuł, łatwych do zaprogramowania na komputerze. Można potem zobaczyć wszystko na obrazkach.
Ale, ale ….. Założyliśmy, że wewnątrz pręta nie ma źródeł ciepła. A co jak są? Nasze równanie Schrodingera też opisuje jedynie cząstkę „swobodną”. A czy jakaś cząstka jest kiedykolwiek swobodna? Na każdą działają jakieś tam siły, choćby i minimalne. A często interesuje nas właśnie to jak te siły wpływają na ruch. Tym trzeba będzie się zająć. W kolejnych notkach
