„Teoria liczb” – to brzmi dumnie. „Wielkie Twierdzenie Fermata” - bodaj każdemu obiło się o uszy. Warto się w tę krainę wybrać, choćby po to, by poznać jej smak. Ale czy da się to zrozumieć? Otóż tak, da się, przynajmniej w prostym przypadku elementarnych własności czwórek Pitagorasa.
Czwórki są ciekawsze niż trójki, bowiem wiążą się ściśle ze światłem, stożkiem świetlnym, zatem fizyką. Czy tylko przez przypadek? Czy też może jest w tym coś głębszego? Pożyjemy, zobaczymy.
Czwórka Pitagorasa, to czwórka liczba naturalnych x,y,z,t takich, że
x2+y2+z2-t2 = 0.
Tak to zapisze fizyk, rozpozna bowiem równanie stożka świetlnego. Czysty matematyk przeniesie oczywiście -t2 na prawą stronę i zapisze to samo jako
x2+y2+z2= t2
W dodatku, by się nikomu nie ważyło to kojarzyć z fizyką, czysty matematyk użyje innych oznaczeń, np:
a2+b2+c2= d2
Ale przecież treść jest dokładnie ta sama. Ja będę się trzymał skojarzeń z fizyką.
Napisałem: liczby naturalne x,y,z,t. Liczby naturalne to 1,2,3,4,.... Zero będziemy tutaj z liczb naturalnych wykluczać. Będą nas przy tym interesować jedynie czwórki prymitywne. To znaczy takie, gdy x,y,z,t nie mają wspólnego podzielnika. No bo jeśli mają, to zawsze można x,y,z,t przez ten wspólny podzielnik podzielić i dostaniemy inną czwórkę Pitagorasa. Gdy będziemy znać wszystkie prymitywne, wtedy, przez proste mnożenie, otrzymamy każdą inną czwórkę.
Przykłady ze strony:
Pythagorean quadruple
(1,2,2,3), (2,3,6,7), (1,4,8,9), (4,4,7,9), (2,6,9,11), (6,6,7,11), (3,4,12,13), (2,5,14,15), (2, 10, 11, 15), (1,12,12,17), (8,9,12,17), (1,6,18,19), (6,6,17,19), (6,10,15,19), (4,5,20,21), (4,8,19,21), (4,13,16,21), (8,11,16,21), (3,6,22,23), (3,14,18,23), (6,13,18,23), (9, 12, 20, 25), (12, 15, 16, 25), (2,7,26,27), (2,10,25,27), (2,14,23,27), (7,14,22,27), (10,10,23,27), (3,16,24,29), (11,12,24,29), (12,16,21,29)
Nasza wycieczka do krainy „Teoria liczb” polegać będzie na udowodnieniu następującego twierdzenia:
Twierdzenie: Jeśli x,y,z,t są prymitywną czwórką Pitagorasa, to zawsze: dwie z liczb x,y,z są parzyste, jedna nieparzysta, no i t jest zawsze nieparzyste.
Dowodu nauczyłem się z książki Sierpińskiego „Elementary Theory of Numbers”, North-Holland and PWN, 1988. Co z tego dowodu zrozumiałem, to tutaj przedstawię. No, z małymi uzupełnieniami.
Ten dowód to jak robota detektywa eliminującego logicznie to co niemożliwe.
Dowód. Zacznijmy od przypomnienia elementarnych własności liczb parzystych i nieparzystych (zawsze naturalnych).
Liczb parzysta to taka, która dzieli się bez reszty przez 2. Każda liczba parzysta da się zatem zapisać jako 2k, gdzie k jest liczbą naturalną.
Suma liczb parzystych jest liczbą parzystą, iloczyn liczb parzystych jest liczbą parzystą. Zatem i kwadrat.
Liczba nieparzysta to taka, która dzieli się przez 2 z resztą 1. Każda liczba nieparzysta da się zapisać jako 2k-1. Jedynka jest pierwszą naturalną liczbą nieparzystą. Dla niej k=1. Iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą. Zatem kwadrat liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą.
Jeśli kwadrat jakiejś liczby n jest liczbą parzystą, to i n jest wtedy parzyste.
Jeśli kwadrat jakiejś liczby n jest liczbą nieparzystą, to i n jest wtedy nieparzyste.
Iloczyn liczby nieparzystej i liczby parzystej jest liczbą parzystą.
Mając dwie kolejne liczb k,k+1 ich iloczyn k(k+1) jest zawsze liczbą parzystą. Czemu? Bo z dwóch kolejnych liczb jedna musi parzysta.
Co więcej możemy powiedzieć o kwadracie liczby nieparzystej niż tylko to, że jest liczbą nieparzystą?
Przypuśćmy, że n jest liczbą nieparzystą. Zapiszmy
n = 2k-1
Podnieśmy do kwadratu:
n2 = (2k-1)2 = 4k2 – 4k +1.
Zapiszmy to tak:
n2 = 4k(k -1) + 1.
Mamy tu iloczyn dwóch kolejnych liczb k,k-1. Ten jest liczbą parzystą, możemy go zapisać jako k(k-1)=2p.
Zatem
n2 = 8p + 1.
Wniosek 1: Reszta z dzielenia kwadratu liczby nieparzystej przez 8 jest zawsze 1.
Wniosek 1a: Reszta z dzielenia kwadratu liczby nieparzystej przez 4 jest zawsze 1.
Zgadza się dla n=3, zgadza się dla n=5. Nawet dla n=7 się zgadza! Nie dziwota: pokazaliśmy przed chwilą, że zawsze będzie się zgadzać.
A co możemy powiedzieć o reszcie z dzielenia przez osiem kwadratu liczby parzystej? Jeśli n jest parzysta, to n=2p, zatem
n2 = 4p2 .
Wniosek 2: Reszta z dzielenia przez 4 kwadratu liczby parzystej wynosi zawsze 0.
Możemy teraz wrócić do dowodu naszego twierdzenia, mianowicie, że w prymitywnej czwórce Pitagorasa x,y,z,t dwie z liczb x,y,z są parzyste a jedna nieparzysta.
Wykluczamy najpierw przypadek wszystkich x,y,z parzystych. Gdyby były parzyste, wtedy ich kwadraty byłyby parzyste, wtedy suma kwadratów byłaby parzysta, zatem t2 byłoby parzyste, zatem t byłoby parzyste, zatem czwórka nie byłaby prymitywną. Ten przypadek mamy z głowy.
Wykluczmy teraz przypadek x,y,z wszystkich nieparzystych. Przypuśćmy, że wszystkie są nieparzyste. Wtedy, z Wniosku 1 mamy
x2 = 8p +1
y2 = 8q+1
z2 = 8r +1
Czyli
x2 + y2 + z2 = 8(p+q+r)+3
x2 + y2 + z2 = t2
Zatem reszta z dzielenia t2 przez 8 wynosiłaby wówczas 3. Ale t2 byłoby wtedy nieparzyste, zatem t musiałoby być nieparzyste. A kwadrat liczby nieparzystej dzieli się przez 8 zresztą 1, a nie z resztą 3. Sprzeczność.
Założenie, że x,y,z są wszystkie nieparzyste prowadzi zatem do sprzeczności.
Czy mogą być dwie nieparzyste a jedna parzysta? Przypuśćmy, że x,y są nieparzyste, zaś z parzysta. Wredy (Wniosek 1a)
x2 = 4k+1,
y2 = 4p+1 ,
z2 =4q,
zatem
t2 = 4(k+p+q) +2
tzn. t2 dzieli się przez 4 z resztą 2.
Ale jeśli x,y są nieparzyste, zaś z parzysta, to t2 jest parzyste, zatem t jest parzyste, zatem t2 powinno sie wtedy dzielić przez 4 bez reszty. Sprzeczność.
Zostaje więc mamy tylko ten przypadek: dwie parzyste, jedna nieparzysta, stąd i t nieparzyste.
Koniec dowodu.
I w ten sposób otarliśmy się o elementarną teorię liczb i doszliśmy do oszałamiającego wniosku: elementarne punkty całkowite na stożku świetlnym mają zawsze czas nieparzysty, podobnie jak jedna z trzech osi musi być w każdym takim punkcie wyróżniona przez swe podobieństwo do czasu (też nieparzysta).
Całą filozofię dyskretnej czasoprzestrzeni można by na tym oprzeć. Ale to zostawmy już filozofom. My chcemy być konstruktywni. Zatem w następnej notce wrócimy do UFO, ale wzmocnieni naszą wiedzą z teorii liczb.
Nauczymy się też budować czwórki pitagorejskie ze spinorów!
