Moje biurko świadczy o mnie. Na biurku chaos:
Więc zapewne i chaos w głowie. Z chaosem da się jednak żyć. Można z nim dojść do ładu. Siedzę więc przy klawiaturze, siorbię łyk herbaty z filiżanki, zabieram się do pisania notki. Trochę mi dziś ciężko. Trzy dni temu, po wizji lokalnej miejsca fatalnego wypadku samochodowego, który niefortunny kierowca zakończył martwy na naszym płocie, coś musiało podziałać na moje nerwy. Może wykonałem jakiś nieodpowiedni nagły ruch? Nie wiem. Dość, że od trzech dni nie mogę bez bólu w plecach się schylić. Być może jakiś nerw popadł między kręgi kręgosłupa? No cóż, bywa. Na kilka dni muszę zapomnieć o porannych ćwiczeniach jogi.
Ale, ale: fraktale. Chcę pokazać jak się produkuje fraktale. Te kwantowe. Chcę podać przepis-receptę. Nie wiem jednak od czego zacząć. Od łatwego, średniego, czy może od tego nieszczęsnego parabolika, z którym zmagałem się przez ostatni tydzień? Wczoraj myślałem, że zacznę od zwykłego. Dzisiaj, gdy zacząłem to pisać, przyciągnął mnie parabolik. Niech mu więc będzie. Skoro się tego domaga, skoro grzecznie prosi – czemu miałbym mu odmówić.
Mamy więc macierz 2x2. Wyjątkowo prostą, bo współczynniki są rzeczywiste. Wybrałem A=[1,2;0,1]. Czemu nie [1,1;01]? Bo dwójka, jak niebawem zobaczymy, ma swoje zalety.
Co taka macierz opisuje? Wiemy już co opisuje, wiemy to z moich poprzednich notek. Opisuje karkołomny manewr wykonywany przez małpę poruszającą joystickiem w pojeździe UFO.
Na czym ten manewr polega? Łatwo to odkodować dokonując rozkładu biegunowego macierzy A. Ogólne formuły dekodowania już znamy z notki „Fizyka i matematyka pilotażu UFO„. Liczymy
A*A = [1,2;2,5]
Ślad A*A to s = 1+5 = 6. Stąd liczymy szybkość:
v = -sqrt(s2 – 4)/s = - 2 sqrt(2)/3 = -0.942809.
Dziewięćdziesiąt cztery procent prędkości światła. No, nienadzwyczajny wynik. Impuls prądu elektrycznego w drucie jest szybszy!
A w którą stronę ten poryw? Mamy na to formuły:
nx = (A*A(1,2) + A*A(2,1))/sqrt(s2 – 4)
ny =- i(A*A(1,2) - A*A(2,1))/sqrt(s2 – 4)
nz = (A*A(1,1) - A*A(2,2))/sqrt(s2 – 4)
Wychodzi
nx = 1/sqrt(2) = 0.707107
ny = 0
nz = -1/sqrt(2) = - 0.707107
Szybkość nam wyszła ujemna. Możemy ją zamienić na dodatnią zmieniając przy tym znaki kierunku. Rusza więc nasze UFO pod kątem 45 stopni względem pionu, w płaszczyźnie (x,z) – czyli prostopadle do osi y.
Natychmiast po osiągnięciu docelowej prędkości (a odbywa się to praktycznie natychmiastowo) Ufo wykonuje obrót. Wiemy jak ten obrót odkodować. Macierz U z rozkładu biegunowego wychodzi
U =[1/sqrt(2),1/sqrt(2);-1/sqrt(2),1/sqrt(2)]
Stąd mamy kąt obrotu
phi = 2 arccos (tr(U)/2) = 90 stopni.
Wokół jakiej osi?
Mamy i na to formuły. Wyliczyliśmy je bowiem w ogólnym przypadku macierzy [1,x;0,1]. Obrót o 90 stopni wokół osi -y. Czyli o -90 stopni wokół osi y. No, manewr niebezpieczny!
O jednym trzeba jednak pamiętać: UFO dokonuje obrotu o -90 stopni wokół osi y swojego układu odniesienia! To ważne, bowiem po przyśpieszeniu nasz układ i układ UFO to dwa różne układy.
Rozumiemy więc na czym polega manewr podstawowy. Teraz przekodujmy naszą macierz A, 2x2, na macierz 4x4 transformacji Lorentza. I na to mamy już formułki
Wychodzi:
LA=
[1,0,-2,2;
0,1,0,0;
2,0,-1,2;
2,0,-2,3]
Całkiem przyzwoita macierz. Za swe elementy ma liczby 0,1,2,3. Czyż to nie piękne?
Jednak jedna jaskółka wiosny nie czyni. Podobnie jedna macierz to mało. Ta niczego fraktalnego nie wyprodukuje. Małpa w UFO nie miałaby żadnej uciechy gdyby jej joystick miał tylko jedną możliwość ruchu. Dobry joystick to joystick trójwymiarowy: góra-dół, prawo-lewo, przód-tył.
Jak to teraz zrobić? Dobry inżynier ma zawsze w głowie kilka możliwych rozwiązań. Wybiera to najekonomiczniejsze dla danego celu i przy danych środkach.
Pomyślmy o sześcianie. Ten ma sześć ścian. I tyle kierunków nam potrzeba. Sześcian ma symetrie. Grupa symetrii sześcianu (bez odbić) ma 24 elementy (to ta sama grupa co grupa permutacji czterech elementów 4! = 12). Nietrudno znaleźć odpowiednie macierze Lorentza. Oto one:
L1 = [-1,0,0,0;0,-1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]
L2 = [-1,0,0,0;0,0,-1,0;0,-1,0,0;0,0,0,1]
L3 = [-1,0,0,0;0,0,1,0;0,1,0,0;0,0,0,1]
L4 = [-1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1]
L5 =[ 0,-1,0,0;-1,0,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1]
L6 = [0,-1,0,0;0,0,-1,0;1,0,0,0;0,0,0,1]
L7 = [0,-1,0,0;0,0,1,0;-1,0,0,0;0,0,0,1]
L8 = [0,-1,0,0;1,0,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]
L9 = [0,0,-1,0;-1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,0,1]
L10 = [0,0,-1,0;0,-1,0,0;-1,0,0,0;0,0,0,1]
L11 = [0,0,-1,0;0,1,0,0;1,0,0,0;0,0,0,1]
L12 = [0,0,-1,0;1,0,0,0;0,-1,0,0;0,0,0,1]
L13 = [0,0,1,0;-1,0,0,0;0,-1,0,0;0,0,0,1]
L14 = [0,0,1,0;0,-1,0,0;1,0,0,0;0,0,0,1]
L15 = [0,0,1,0;0,1,0,0;-1,0,0,0;0,0,0,1]
L16 = [0,0,1,0;1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,0,1]
L17 = [0,1,0,0;-1,0,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]
L18 = [0,1,0,0;0,0,-1,0;-1,0,0,0;0,0,0,1]
L19 = [0,1,0,0;0,0,1,0;1,0,0,0;0,0,0,1]
L20 = [0,1,0,0;1,0,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1]
L21 = [1,0,0,0;0,-1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1]
L22 = [1,0,0,0;0,0,-1,0;0,1,0,0;0,0,0,1]
L23 = [1,0,0,0;0,0,1,0;0,-1,0,0;0,0,0,1]
L24 = [1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]
Obróćmy więc nasz manewr LA każdym z tych elementów symetrii sześcianu i zobaczmy co dostaniemy? Czyli: zbudujmy macierze
J[i] = L(i) LA L(i)-1.
Otrzymamy 24 macierze J(i)
J(1) = [1,0,2,-2;0,1,0,0;-2,0,-1,2;-2,0,-2,3]
J(2) = [1,-2,0,-2;2,-1,0,-2;0,0,1,0;-2,2,0,3]
J(3) = [1,2,0,-2;-2,-1,0,2;0,0,1,0;-2,-2,0,3]
J(4) = [1,0,-2,-2;0,1,0,0;2,0,-1,-2;-2,0,2,3]
J(5) = [1,0,0,0;0,1,-2,-2;0,2,-1,-2;0,-2,2,3]
J(6) = [1,0,0,0;0,-1,-2,-2;0,2,1,2;0,2,2,3]
J(7) = [1,0,0,0;0,-1,-2,2;0,2,1,-2;0,-2,-2,3]
J(8) = [1,0,0,0;0,1,-2,2;0,2,-1,2;0,2,-2,3]
J(9) = [-1,2,0,-2;-2,1,0,-2;0,0,1,0;2,-2,0,3]
J(10) = [-1,0,2,-2;0,1,0,0;-2,0,1,-2;2,0,-2,3]
J(11) = [-1,0,-2,-2;0,1,0,0;2,0,1,2;2,0,2,3]
J(12) = [-1,-2,0,-2;2,1,0,2;0,0,1,0;2,2,0,3]
J(13) = [-1,-2,0,2;2,1,0,-2;0,0,1,0;-2,-2,0,3]
J(14) = [-1,0,2,2;0,1,0,0;-2,0,1,2;-2,0,2,3]
J(15) = [-1,0,-2,2;0,1,0,0;2,0,1,-2;-2,0,-2,3]
J(16) = [-1,2,0,2;-2,1,0,2;0,0,1,0;-2,2,0,3]
J(17) = [1,0,0,0;0,1,2,-2;0,-2,-1,2;0,-2,-2,3]
J(18) = [1,0,0,0;0,-1,2,-2;0,-2,1,-2;0,2,-2,3]
J(19) = [1,0,0,0;0,-1,2,2;0,-2,1,2;0,-2,2,3]
J(20) = [1,0,0,0;0,1,2,2;0,-2,-1,-2;0,2,2,3]
J(21) = [1,0,2,2;0,1,0,0;-2,0,-1,-2;2,0,2,3]
J(22) = [1,2,0,2;-2,-1,0,-2;0,0,1,0;2,2,0,3]
J(23) = [1,-2,0,2;2,-1,0,2;0,0,1,0;2,-2,0,3]
J(24) = [1,0,-2,2;0,1,0,0;2,0,-1,2;2,0,-2,3]
Wyszło nam nie sześć a 24 różne położenia joysticka. Czemu? To jasne. Bo sześcian nie ma żadnej z płaszczyzn wyróżnionej, a nasz wyjściowy manewr ma wyróżnioną płaszczyznę – tę w której dokonuje się obrót. A możliwych płaszczyzn jest cztery: (x,y),(x,z),(y,z) ….
Tu mamy problem. I to jest zadanie dla Czytelnika: Dlaczego nasza transformacja LA nie ma żadnej z symetrii sześcianu? Dlaczego każda symetria sześcianu przeprowadza naszą transformację w jakąś inną transformację? Co będą oznaczały te 24 różne położenia joysticka? Czemu 24? Jak je zinterpretować? Kto mi pomoże?
Tak czy siak mając te 24 transformacje zbudujemy fraktal. Ale to już w kolejnej notce.
