Czas teraz zebrać schemat odkodowywania macierzy z grupy SL(2,c) i postawić kropkę nad i. Nie wiem, czy gdzieś to jest w takich detalach opisane. Wielu ludzi o podobnych rzeczach pisało, ale każdy z nich miał co innego na uwadze, na czym innym się koncentrował. My, tutaj, koncentrujemy się na dekodowaniu. Spadła nam z nieba macierz z grupy SL(2,C), na przykład ta wyjątkowa, paraboliczna, [1,z;0,1] i chcemy ją zdekodować.
Macierz ta opisuje jakiś manewr pilota UFO. Pilot ufo ma joystick. Wychyla go w jakimś kierunku i natychmiast przyśpiesza do jakiejś tam prędkości v w jakimś tam kierunku n. Następnie, drugim joystickiem obraca osie swego pojazdu o jakiś kąt phi względem osi m. Manewr zakończony.
Cały manewr to zatem: najpierw poryw (v,n), potem obrót (phi,m). Cały ten manewr zapisany ma w macierzy A z grupy SL(2,C)
[a b]
[c d]
przy czym ad-bc = 1.
Wiemy (mówi o tym twierdzenie o rozkładzie biegunowym), że A da się jednoznacznie rozłożyć na iloczyn
A = UT
gdzie T jest macierzą dodatnią (też z SL(2,C)), zaś U jest macierzą unitarną (z SU(2)). Część przyśpieszająca manewru jest zakodowana w T. Część obracająca osie jest zakodowana w U.
Chcemy mieć algorytm kawa na ławę. Część procedury odkodowywania opisałem w poprzednich notkach. Teraz zbiorę to, co istotne, postawię kropkę nad i dekodując do końca obroty. Następnie przerobimy przykład.
-
Część przyśpieszająca
Ta zakodowana jest w macierzy A*A. Zakodowane tam jest v oraz wektor n. Oczywiście macierz A*A trzeba najpierw wyliczyć. Ale to proste – zwykłe operacje transponowania, sprzężenia zespolonego i mnożenia macierzy. Przypuśćmy, że A*A już wyliczyliśmy i A*A jest macierzą
[A*A(1,1) A*A(1,2)]
[A*A(2,1) A*A(2,2)]
Liczymy ślad
s = A*A(1,1) + A*A(2,2)
Ten jest zawsze rzeczywisty.
Formuła na v:
v = -sqrt(s2 – 4)/s
Teraz liczymy wektor prędkości n:
nx = (A*A(1,2) + A*A(2,1))/sqrt(s2 – 4)
ny =- i(A*A(1,2) - A*A(2,1))/sqrt(s2 – 4)
nz = (A*A(1,1) - A*A(2,2))/sqrt(s2 – 4)
II. Część obracająca
a. Konstruujemy z danych w części I macierz T.
wyliczamy pomocnicze k
k = -(1 - sqrt(1-v2))/v
T=(1/sqrt(1-k2)) x macierz
[ 1+knz k(nx + i ny)]
[k(nx – i ny) 1 – knz ]
b. Wyliczamy T-1:
T-1 = (1/sqrt(1-k2)) x macierz
[ 1 - knz -k(nx + i ny)]
[-k(nx - i ny) 1 + knz ]
-
Obliczamy U
U = AT-1.
-
Obliczamy kąt obrotu phi
phi = 2 arccos (tr(U)/2)
e. obliczamy oś obrotu
Wstawka:
By obliczyć oś obrotu dobrze najpierw obliczyć macierz pomocniczą
W = U – cos(phi/2)I = U – (tr(U)/2)I
Wtedy
mx = (W(1,2) + W(2,1))/ (2i sin(phi/2))
my = -(W(1,2) – W(2,1))/(2 sin(phi/2))
mz = (W(1,1) - W(2,2))/ (2i sin(phi/2))
Przykład. Liczymy dla macierzy A = [1,x;0,1], x rzeczywiste, dodatnie.
Jeśli więc nasz UFO-pilot chce dokonać manewru parabolicznego, a tylko prawdziwe asy to potrafią, musi dopasować dokładnie oś obrotu i szybkość obrotu do porywu. Oś obrotu musi być prostopadła do kierunku porywu, a kąt obrotu dany przez precyzyjną formułę. Zwykły pilot po takim manewrze rzyga przez tydzień. As zaś może powtórzyć manewr choćby i milion razy. Najwyżej mu kwantowy fraktal przed oczyma zamruga.
Ale o tym i o kuźni asów pilotażu UFO – już w kolejnych notkach.
