Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
1867
BLOG

Jedność Przyrody

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 102

Zimowy ranek. Za oknem ciemność. Wstałem o szóstej, zaspany jeszcze odbyłem moje poranne ćwiczenie yogi. Stójka na głowie skrócona, bo moja dyscyplina ostatnio osłabła, miałem przerwę. Stąd, teraz ostrożny, wracam do stójki zwiększając codziennie czas o dziesięć sekund. Zastanawiam się jakby tu zatytułować kolejną notkę. Ma to być dalszy ciąg mojego cyklu o transformacjach Lorentza. Mam pisać o tych transformacjach Lorentza, które generowane są przez unitarne macierze z grupy SL(2,C) – zatem z grupy SU(2). Transformacje te to nic innego niż dobrze każdemu znane trójwymiarowe sztywne obroty. Bierzemy do ręki ołówek i obracamy. Kręcimy głową. Kręci się sklepienie niebieskie. Kręcą się rzeczy wokół nas, wszystko jakieś takie pokrętne. Gdyby we Wszechświecie wszystko było proste – byłoby może prosto, ale mało ciekawie.

 
Pomiędzy ruchem prostoliniowym a ruchem obrotowym jest śruba. Jest pośrednikiem. Jak tutaj na tym szkicu:
 
Sruba
 
Ta akurat zamienia szybki ruch obrotowy na ruch postępowy. Z postępem jakoś sobie radzimy. Z obrotami jest trudniej. Więc poobracajmy obrotami.
 
Każdy obrót to obrót o jakiś kąt wokół jakiejś osi. To fakt. Można go dowieść matematycznie. W stwierdzeniu tym są dwie dane: „jakiś kąt” i „jakaś oś”. Napisałem wyżej, że obroty, matematycznie, są reprezentowane przez macierze unitarne z grupy SL(2,C). Skoro tak, to mając taką macierz powinniśmy umieć z niej odczytać zarówno kąt jak i kierunek osi. Ale jak to odczytać?
 
A tak w ogóle to co to za słowo „unitarne”? „Unit” to „jedność”, ”jednostka”. Jest jeszcze też „unitarianizm”. Z Wikipedii
 
Unitarianizm, obok luteranizmu, kalwinizmu i anglikanizmu, był jednym z głównych nurtów reformacji. Jego nazwa pochodzi od łacińskich słów "unus", czyli jeden i "unitas", czyli jedność.
 
Stąd też mi się skojarzył tytuł dzisiejszej notki. Wszechświat to nie jest zbiór niezależnych od siebie elementów. One są jakieś wszystkie ze sobą połączone. Jakimiś trybikami. Te trybiki się kręcą. No, może jakoś kwantowo, bo klasyczne kręcenie jest zbyt proste by zdać sprawę ze wszystkich znanych nam faktów. Obraz świata jako wielkiego zegara należy do przeszłości. Zegar musi być kwantowy. Grupa SU(2) świetnie się do tego nadaje. Kwantowość jest tam wbudowana, wychodzi na jaw przy przekładaniu 1:2 z obrotów kwantowych na klasyczne. Kwantowo obracamy o 360 stopni, a klasyczny trybik obraca się w tym czasie o 720 stopni. Dziwne to, ale prawdziwe.
 
Macierz unitarna – co to takiego? Przypomnę, że dyskutujemy macierze 2x2. Zatem proste tabelki o dwu wierszach i o dwóch kolumnach. Jak ta:
 
A=
 
[a b]
[c d]
 
Liczby a,b,c,d to liczby zespolone. Na przykład a= 2+3i. Do każdej liczby zespolonej a mamy liczbę sprzężoną a*. Gdy a = 2+3i, to a*=2-3i. Macierz „hermitowsko sprzężona” do macierzy A to macierz:
 
A* =
 
[a* c*]
[b* d*]
 
Reguła dość prosta. Macierz unitarna to taka, że AA*=I, gdzie I jest macierzą jednostkową
 
I=
[1 0]
[0 1]
 
Z AA*=I można wydedukować, że także A*A =I. Nie jest ta dedukcja taka całkiem prosta, ale daje się zrobić. Gdyby ktoś był ciekaw jak to się robi – jestem gotów pokazać. Ale tylko na wyraźnie żądanie.
 
Równanie macierzowe AA* = I w przełożeniu na a,b,c,d, po skonsultowaniu wzorów na mnożenie macierzy, sprowadza się do czterech równań:
 
aa*+bb*=1
ac*+bd*=0
ca*+db*=0
cc*+dd*=1
 
Równanie trzecie ma tę samą treść co równanie drugie – otrzymuje się je z drugiego przez sprzężenie zespolone. Mamy więc właściwie tylko trzy równania. Jak na nie patrzeć? Można tak: macierz ma dwa wiersze. Pierwszy to [a b], drugi to [c d]. Te dwa wiersze to dwa wektory. Równanie pierwsze i czwarte mówią nam, że kwadraty długości(norm) tych wektorów są równe jedności. Bo kwadrat długości wektora zespolonego [x y] tak się właśnie definiuje: to xx*+yy*. Równanie drugie (i trzecie) mówi nam, że wektory te są wzajemnie prostopadłe. Bo iloczyn skalarny wektorów [x y] i [x',y'] tak się definiuje:
 
([x y],[x' y']) = xx'* + yy'*
 
Wektory zaś są, z definicji, prostopadłe jeden do drugiego gdy ich iloczyn skalarny jest zerem.
 
Zatem macierz unitarna to taka, w której wiersze-wektory mają długość jeden i są do siebie wzajemnie prostopadłe.
 
Równanie alternatywne na macierz unitarną, mianowicie A*A=I tłumaczy się na
 
aa*+cc*=1
ab*+cd*=0
ba*+dc*=0
bb*+dd*=1
 
Macierz A ma dwa wektory kolumny: [a c]', [b d]'. Piszę ' za nawiasem [ ] by pamiętać, że są to kolumny. Długości i iloczyny skalarne wektorów-kolumienek definiuje się tak samo jak dla wektorów-wierszy. Zatem obydwa wektory-kolumny naszej macierzy mają mieć długość jeden i kolumny są do siebie wzajemnie prostopadłe.
 
My zajmujemy się macierzami o wyznaczniku 1, zatem dochodzi jeszcze równanie ad-bc = 1. Teraz, gdy się człowiek dobrze przyłoży, może udowodnić następujące twierdzenie:
 
Twierdzenie: Każda macierz unitarna U o wyznaczniku 1 ma postać:
 
A=
 
[a b]
[- b* a*]
 
gdzie aa*+bb*=1.
 
Że macierz A tej postaci jest unitarna i ma wyznacznik 1 – to sprawdzić łatwo. Że każda macierz unitarna o wyznaczniku 1 jest takiej postaci – nad tym trzeba popracować. Nie jest to bynajmniej czymś oczywistym.
 
Przyjmijmy do wiadomości, że tak jest. W razie wątpliwości odwołajmy się do wyroczni jaką w dzisiejszych czasach jest Wikipedia. Gdyby zaś ktoś bardzo chciał zobaczyć „dowód” - mogę nim służyć.
 
Zauważmy teraz, że ślad, tr(A), macierzy A to a+a* - czyli dwa razy część rzeczywista współczynnika a w pierwszym wierszu i w pierwszej kolumnie.
 
Szczególnym przypadkiem macierzy z grupy SU(2) są macierze diagonalne, gdy b=0. Gdy b=0 wtedy aa*=1. Liczba a jest więc liczbą zespoloną o module 1 – punkt na okręgu jednostkowym płaszczyzny zespolonej. Można taką liczbę zapisać jako:
 
a= cos ϕ + i sin  ϕ .
 
Wtedy
 
a* = cos ϕ - i sin  ϕ .
 
Zaś a+a* = 2 cos ϕ .
 
Zatem
 
tr(A) = 2 cos ϕ .
 
Przypomnę teraz z notki Spinorowy napęd przestrzeni, że odpowiada naszej macierzy obrót w trójwymiarowej przestrzeni o kąt 2ϕ .
 
Wynika stąd taki algorytm odkodowywania tego co robi macierz unitarna A:
 
Algorytm dekodowania kąta obrotu z macierzy unitarnej z SU(2):
 
Liczymy ślad tej macierzy. Dzielimy ten ślad przez 2. W wyniku otrzymujemy cosinus połowy kąta o jaki macierz ta obraca punkty trójwymiarowej przestrzeni. Znając cosinus możemy stąd dostać sam kąt, jeśli ograniczymy się do przedziału [0,π).
 
Tak naprawdę, to wyprowadziliśmy ten algorytm jedynie dla macierzy diagonalnych. Ale: każda macierz unitarna daje się zdiagonalizować, a ślad przy diagonalizacji nie ulega zmianie.
 
Znów korzystam z pewnej własności bez udowodnienia jej. Wikipedia ma tu na zawołanie następujące stwierdzenie:
 
„Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie - tzn. możemy żądać, by macierz przejścia była unitarna.”
 
Macierze unitarne są macierzami „normalnymi” - tzn. A jest przemienne z A*. Istotnie, jak pisałem wyżej AA*=A*A=I.
 
Wiemy więc jak, mając macierz z SU(2), odczytać z niej o jaki kąt obraca wektory z naszej trójwymiarowej przestrzeni. Pozostaje nam do odkodowania kierunek osi.
 
O tym w następnej notce. Gdy to poznamy, wtedy będziemy mogli do końca odkodować dziwną transformację Lorentza daną przez macierz [1,1;0,1], transformację, którą kiedyś nazwałem „śrubą”, ale która jest raczej „kontr-śrubą”, bo jest kontrprzykładem dla cztero-śruby z monografii Synge'a o szczególnej teorii względności.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie