Spośród wszystkich symetrii najmniej symetryczną jest symetria śrubowa. Korkociąg ma w sobie coś tajemniczego. Kręcąc ciągniemy.
Popychając kręcimy.
Uwielbiam śruby. Czasem bywają niebezpieczne. Dziecięca zabawka-śmigiełko puszczone w lot może skaleczyć. Śruby bywają ostre. Korkociągi niebezpieczne.
Podpatrzyliśmy to u Przyrody
Nie wiem czy w Przyrodzie istnieją „poruszające się w przestrzeni fale elektromagnetyczne”. Nie wiem czy istnieje „przestrzeń”. Fal nie dotykałem, nie dotykałem przestrzeni. Dotykałem przedmiotów w przestrzeni, ale „samej przestrzeni”? Nie przeszkadza mi to w rozmyślaniach o przestrzeni i o biegnących w niej falach. Istnieją w sensie matematycznym. A to już coś. Da się z tym pracować.
Najprostszą bodaj falą elektromagnetyczną jest „fala płaska”. Z fal płaskich można konstruować fale bardziej wymyślne. Kto by się spodziewał, że za fala płaską ukrywa się symetria śrubowa? Dowiedziałem się tego z enigmatycznego stwierdzenia w książce Kopczyńskiego i Trautmana „Czasoprzestrzeń i grawitacja”:
„Warto tu odnotować, iż powyższe przekształcenia są symetriami płaskich fal elektromagnetycznych.”
Zdanie to nie zostało dalej rozwinięte. Ale zainteresowało mnie. Więc zacząłem kopać w literaturze. Dokopałem się w ten sposób do pracy Bondiego, Piraniego i Robinsona z roku 1960
Praca dotyczy co prawda enigmatycznych (iluzorycznych?) „fal grawitacyjnych”, a nie elektromagnetycznych, ale jest tam też fragment o tych ostatnich. Fragment krótki, jednak wystarczający do rozszyfrowania o co tu idzie:
Mamy więc płaską falę elektromagnetyczną. U nich porusza się w kierunku osi x, ja zmienię to na kierunek osi z. Wybieramy dowolne dwie liczby rzeczywiste b1,b2. Konstruujemy transformację Lorentza według przepisu (2.3):
t' = t + b1x + b2y + (b12 + b22)(t-z)/2
x' = x + b1(t-z)
y' = y + b2(t-z)
z' = z + b1x + b2y + (b12 + b22)(t-z)/2
Po przejściu do nowego układu odniesienia nasza fala wygląda dokładnie tak samo jak w układzie wyjściowym. Nawet choć fala wyjściowa porusza się w kierunku osi z a my wystartowaliśmy w jakimś kierunku bocznym.
Weźmy przykład:
b1 = 1
b2 = 0
Co dostaniemy?
t' = t + x + (t-z)/2 = 3t/2 + x -z/2
x' = x + t – z
y' = y
z' = z + x +(t-z)/2 = z/2 + x + t/2
Zaraz, zaraz. …. to już widzieliśmy. Jest to transformacja Lorentza otrzymana z macierzy [1,1;0,1] z grupy SL(2,C).
Ta rozkłada się na poryw w w kierunku
nx = 0,89442719
ny = 0
nz = -0,44721359
ny = 0
nz = -0,44721359
z prędkością v = -0,74535599 c, oraz na obrót wokół jeszcze nie zidentyfikowanej osi o jeszcze nie zidentyfikowany kąt. Ruch do przodu i obrót – zatem coś w rodzaju śruby.
No tak, to jedna z transformacji wymienionych w pracy Bondiego i ski. A gdzie są pozostałe? Możemy użyć tabelki tłumaczącej macierze 2x2 na transformacje Lorentza i w ten sposób przekonać się, że Kopczyński i Trautman napisali słusznie. Bowiem macierze
[1 b]
[0 1]
gdzie b jest liczbą zespoloną b = b1 + ib2 tłumaczą się dokładnie na transformacje z pracy Bondiego, Piraniego i Robinsona. Możemy użyć znanych już z poprzednich notek wzorów i wyliczyć szybkość porywu odpowiadającego takiej macierzy. Jeśli się nie pomyliłem to wynik jest taki:
v = - sqrt( (2 + |b|2)2 – 4 ) / (2 + |b|2)
gdzie |b|2 = b12 + b22.
Możemy wyliczyć też kierunek porywu:
nx = 2b1 / sqrt( (2 + |b|2)2 – 4 )
ny = 2b2 / sqrt( (2 + |b|2)2 – 4 )
nz = - |b|/ sqrt( (4 + |b|2 )
Macierze A(b) =
[1 b]
[0 1]
tworzą przemienną (abelową) podgrupę grupy SL(2,C). Mnożąc otrzymujemy:
A(b)A(b') = A(b')A(b) = A(b+b').
Nie rozszyfrowaliśmy jeszcze obrotów kryjących się w tych macierzach. Czas by się tym zająć, tak byśmy mogli przełożyć abstrakcyjny język algebry na informację wzrokową. Chciałbym się tym zająć w następnej notce, ale kto wie jaką śrubę spotkam po drodze? Zajmowanie się niesymetrycznymi symetriami pełne jest bowiem niespodzianek!
Komentarze