Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
2629
BLOG

Niesymetryczne symetrie

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 141

 

Spośród wszystkich symetrii najmniej symetryczną jest symetria śrubowa. Korkociąg ma w sobie coś tajemniczego. Kręcąc ciągniemy.
 
korkociąg

Popychając kręcimy.

 
śmigiełko
 
Uwielbiam śruby. Czasem bywają niebezpieczne. Dziecięca zabawka-śmigiełko puszczone w lot może skaleczyć. Śruby bywają ostre. Korkociągi niebezpieczne.
 
samolot w korkociągu
 
Podpatrzyliśmy to u Przyrody
 
symetria spiralna
 
Nie wiem czy w Przyrodzie istnieją „poruszające się w przestrzeni fale elektromagnetyczne”. Nie wiem czy istnieje „przestrzeń”. Fal nie dotykałem, nie dotykałem przestrzeni. Dotykałem przedmiotów w przestrzeni, ale „samej przestrzeni”? Nie przeszkadza mi to w rozmyślaniach o przestrzeni i o biegnących w niej falach. Istnieją w sensie matematycznym. A to już coś. Da się z tym pracować.
 
Najprostszą bodaj falą elektromagnetyczną jest „fala płaska”. Z fal płaskich można konstruować fale bardziej wymyślne. Kto by się spodziewał, że za fala płaską ukrywa się symetria śrubowa? Dowiedziałem się tego z enigmatycznego stwierdzenia w książce Kopczyńskiego i TrautmanaCzasoprzestrzeń i grawitacja”:
 
„Warto tu odnotować, iż powyższe przekształcenia są symetriami płaskich fal elektromagnetycznych.”
 
Fala e-m
 
Zdanie to nie zostało dalej rozwinięte. Ale zainteresowało mnie. Więc zacząłem kopać w literaturze. Dokopałem się w ten sposób do pracy Bondiego, Piraniego i Robinsona z roku 1960
 
Bondi, Pirani, Robinson III
 
Praca dotyczy co prawda enigmatycznych (iluzorycznych?) „fal grawitacyjnych”, a nie elektromagnetycznych, ale jest tam też fragment o tych ostatnich. Fragment krótki, jednak wystarczający do rozszyfrowania o co tu idzie:
 
electromagnetic plane waves symmetries
 
Mamy więc płaską falę elektromagnetyczną. U nich porusza się w kierunku osi x, ja zmienię to na kierunek osi z. Wybieramy dowolne dwie liczby rzeczywiste b1,b2. Konstruujemy transformację Lorentza według przepisu (2.3):
 
t' = t + b1x + b2y + (b12 + b22)(t-z)/2
x' = x + b1(t-z)
y' = y + b2(t-z)
z' = z + b1x + b2y + (b12 + b22)(t-z)/2
 
Po przejściu do nowego układu odniesienia nasza fala wygląda dokładnie tak samo jak w układzie wyjściowym. Nawet choć fala wyjściowa porusza się w kierunku osi z a my wystartowaliśmy w jakimś kierunku bocznym.
 
Weźmy przykład:
 
b1 = 1
b2 = 0
 
Co dostaniemy?
 
t' = t + x + (t-z)/2 = 3t/2 + x -z/2
x' = x + t – z
y' = y
z' = z + x +(t-z)/2 = z/2 + x + t/2
 
Zaraz, zaraz. …. to już widzieliśmy. Jest to transformacja Lorentza otrzymana z macierzy [1,1;0,1] z grupy SL(2,C).
 
Ta rozkłada się na poryw w w kierunku
 
nx = 0,89442719
ny = 0
nz = -0,44721359
 
z prędkością v = -0,74535599 c, oraz na obrót wokół jeszcze nie zidentyfikowanej osi o jeszcze nie zidentyfikowany kąt. Ruch do przodu i obrót – zatem coś w rodzaju śruby.
 
No tak, to jedna z transformacji wymienionych w pracy Bondiego i ski. A gdzie są pozostałe? Możemy użyć tabelki tłumaczącej macierze 2x2 na transformacje Lorentza i w ten sposób przekonać się, że Kopczyński i Trautman napisali słusznie. Bowiem macierze
[1 b]
[0 1]
 
gdzie b jest liczbą zespoloną b = b1 + ib2 tłumaczą się dokładnie na transformacje z pracy Bondiego, Piraniego i Robinsona. Możemy użyć znanych już z poprzednich notek wzorów i wyliczyć szybkość porywu odpowiadającego takiej macierzy. Jeśli się nie pomyliłem to wynik jest taki:
 
v = - sqrt( (2 + |b|2)2 – 4 ) / (2 + |b|2)
 
gdzie |b|2 = b12 + b22.
 
Możemy wyliczyć też kierunek porywu:
 
nx = 2b1 / sqrt( (2 + |b|2)2 – 4 )
ny = 2b2 / sqrt( (2 + |b|2)2 – 4 )
nz = - |b|/ sqrt( (4 + |b|2 )
 
Macierze A(b) =
 
[1 b]
[0 1]
 
tworzą przemienną (abelową) podgrupę grupy SL(2,C). Mnożąc otrzymujemy:
 
A(b)A(b') = A(b')A(b) = A(b+b').
 
Nie rozszyfrowaliśmy jeszcze obrotów kryjących się w tych macierzach. Czas by się tym zająć, tak byśmy mogli przełożyć abstrakcyjny język algebry na informację wzrokową. Chciałbym się tym zająć w następnej notce, ale kto wie jaką śrubę spotkam po drodze? Zajmowanie się niesymetrycznymi symetriami pełne jest bowiem niespodzianek!

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie