Jest ranek, 13 stycznia. Trzynastka ponoć pechową jest. Tak twierdzą jedni. Inni znów utrzymują, że jest szczęśliwa. Wstałem dość wcześnie i od razu zacząłem kichać. To pech. Gdy się tego kichania nazbiera więcej – zaczyna boleć głowa. Kawa ponoć niezdrowa jest. Świętej pamięci Nikolai Levashov, fizyk teoretyk jak by nie było, Słowianin, twierdził, że kawa nie daje ludziom w nocy dobrze się wyspać, a sen jest bardzo ważny.
Herbata to co innego. Pewnie w tym przypadku miał rację. W innych przypadkach wydaje się mi podejrzany.
Ale: rozpraszam się. Owszem, wypiłem filiżankę kawy. Przestałem kichać. Przecież nie o tym mam dzisiaj pisać! Chcę pisać o dekodowaniu transformacji unitarnych z grupy SL(2,C). Taki mam plan. Jednak od planu trochę odstąpię, bo mi się oto coś skojarzyło.
Otóż pod poprzednia notką miałem dyskusję z Waligórą. Przestrzegałem przed zbyt entuzjastycznym przyjmowaniem wszystkiego tego co pisze Akademik Anatoly Logunov, jeden z twórców i propagatorów „Relatywistycznej Teorii Grawitacji” - teorii grawitacji w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego – na przekór Einsteinowi i jego „czasoprzestrzeni zakrzywionej”.
A uzasadniałem moje zniechęcanie do Logunova tak:
@waligora
Może powinieniem dodać, że ja sam do ŁOgunowa niechęci nie czuję i nawet go wielce cenię. Uważam jednak, że moim obowiązkiem jest ostrzeganie, tak jak to jest w Ewangelii Thomasa:
"Tego dnia ujrzawszy, jak ktoś pracował w szabat, rzekł doń: 'Człowieku, jeśli wiesz co czynisz - jesteś błogosławiony, jeśli zaś nie wiesz - jesteś przeklęty i przestępcą Prawa"
[Apokryfy Nowego Testamentu, Tom 1, s. 108, Towarzystwo Naukowe Katolickiego Uniwersytetu Lubelskiego, Lublin 1986]
Lub:
The Gospel of Thaddaeus
An English Translation
Of the Critical Greek Text
Based on the Edessene Codex θ
And Compared with the Fragments
θ1 θ2 θ3 θ4 Fa197
By Academician Yu. Grigoriev
University of St. Petersburg
St. Petersburg, Russian Federation
University of Chicago Press © 2004
A Man Gathering Sticks on the Sabbath
33 And on the same day, as he was going along, he saw a man picking up sticks on the sabbath.
34 And Jesus said to him, "Man, if you know what you are doing, you are blessed; but if you do not know what you are doing, you are accursed and a transgressor of the law."
Powoływałem się więc na Apokryfy, a z apokryfami to trzeba uważać, bo można podpaść. Choć jednemu podpadnie się więcej, innemu mniej. W Witrynie Mateusz.pl Jacek Salij OP na apokryfy krzyczy głośno, niemal wrzeszczy. NatomiastTomasz Kot SJ jest łagodniejszy:
„... Nie oznacza to jednak, że Kościół przestał się nimi interesować. Są one bardzo bogatym źródłem informacji pomagających zrozumieć pisma kanoniczne, choć czasem na zasadzie różnic.”
Tak czy siak: do odważnych świat należy izapraszam dziś do udziału w popełnieniu małej herezji.
W poprzedniej notce z niejaką dumą prezentowałem biały tekst na niebieskim tle:
Wybrałem biały, bo Bjab jakby narzekał na żółty i faktycznie biały jest czytelniejszy. Miałem trochę prób i błędów z prezentowaniem wzorów matematycznych. W końcu zdecydowałem się na wybór pakietu do prezentacji Prosper pod Latex-em, styl 'azzure'. Ciemno-niebieskie tło, tonowane, najbardziej mi się podoba. Niebieski tak w ogóle lubię. Od moich Czytelników dotąd narzekań nie ma.
Zatem, proponuję, zabierzmy się do herezji – niebieskiej. Bo sferami niebieskimi się ostatnio zajmujemy.
Mamy „Twierdzenie” w niebieskiej obudowie. Dowodu twierdzenia co prawda nie podałem, ale nie jest on trudny i mógłbym go podać. Ot techniczny – zwykłe macierze. Wiemy jak odczytać z macierzy dodatniej o wyznaczniku 1 – porywu Lorentzowskiego - prędkość v i jej kierunek w przestrzeni. W mianowniku jest widmo-postrach 1-k2, przestrzegające przed przekraczaniem prędkości światła |v|=1. Gdy chcemy prędkość światła osiągnąć – pojawia się dzielenie przez zero. A za to biją po łapach. Po łapach dostać nikt chyba nie chce – to boli. Ale przygodę chce mieć każdy, Nie wolno co prawda brać v>1, ale: czemu by nie wziąć v urojonego? Na to chyba linijki do bicia po łapach jeszcze nie ma?
Zatem do roboty: wsiadamy do rakiety z prędkością urojoną. Innymi słowy podstawiamy ik za k. I co dostajemy? Ponieważ i2 = -1, tam gdzie było 1-k2, teraz pojawia się 1+k2. To w mianowniku wygląda dużo bezpiecznej! Teraz k może być dowolne rzeczywiste. Nasza macierz – nazwijmy ją U, ma teraz postać:
Stwierdzenie zaczynające się od „Wtedy ...” łatwo sprawdzić prostym rachunkiem. Nawet warto.
Zatem nasza odważna próba wprowadzenia „prędkości urojonej” obeszła się bez bólu. Otrzymaliśmy macierze unitarne, zatem opisujące zwykłe przestrzenne obroty! Ale, czy wszystkie obroty w ten sposób dostaniemy?
mieliśmy:
Twierdzenie:
Każda macierz unitarna 2x2 o wyznaczniku 1 ma postać:
[ a b]
[-b* a*],
gdzie aa* + bb* =1. Łatwo sprawdzić, że, na odwrót, każda taka macierz jest unitarna.
Widać stąd, że ślad macierzy unitarnej, mianowicie a+a*, jest zawsze liczbą rzeczywistą. Biorąc zaś ślad naszej macierzy z niebieskiego obrazka powyżej dostajemy liczbę rzeczywistą dodatnią. Dostajemy więc w ten sposób jedynie macierze unitarne o śladzie dodatnim. A gdzie są te o śladzie ujemnym? A gdzie są macierze o śladzie 0?
Skoro raz zaryzykowaliśmy, i nic złego się przy tym nie stało, ryzykujmy więc dalej. Jeśli postawimy minus przed naszą formułą na U, dostaniemy macierze o śladzie ujemnym. To z głowy. Zostają nam macierze unitarne o śladzie zero. Gdzie te się podziewają?
Otóż wystarczy z k przejść do granicy k →∞ . Wtedy 1/√(1+k2) → 0,
zaś k/√(1+k2) → 1. Nasza formuła ma zatem sens w tej granicy.
Ryzykujemy więc następujące twierdzenie:
Przypuśćmy teraz, że nasze twierdzenie jest prawdziwe. Możemy je wtedy przymierzyć do szczególnego przypadku omawianego w notce Spinorowy napęd czasoprzestrzeni. Dyskutowaliśmy tam obrót wokół osi z dany macierzą:
U =
[eiϕ0]
[0 e-iϕ ]
Pamiętajmy, że
eiϕ= cosϕ+ i sinϕ
e-iϕ= cosϕ- i sinϕ
Zatem ślad naszej macierzy to 2 cosϕ.
Przypomnijmy sobie wykres kosinusa:
Zatem gdyϕzmienia się od 0 do π i od 3π/2 do π to ślad jest dodatni, w przedziale od π do 3π/2 ślad jest ujemny. Lub inaczej: gdykąt zmienia się od – π/2 do π/2 to ślad jest dodatni, zaś pomiędzy – π i – π/2, oraz od π/2 do π jest ujemny.
Porównując macierz
[eiϕ 0]
[0 e-iϕ]
z postacią z niebieskiego obrazka możemy odkodować kąt:
cosϕ= ±1/√(1+k2)
sinϕ=±k/√(1+k2).
Stąd k= tanϕ. Odkodowawszy kąt, mamy k= tanϕ. Stąd już możemy odkodować wektor n.
Wypadałoby teraz wypróbować nasz odważny przepis na jakimś innym przykładzie. Na przykład na przykładzie macierzy opisującej transformację z' = z+1 płaszczyzny zespolonej.Transformacja ta dana jest macierzą
[1 1]
[0 1]
Wiemy, że każda macierz z SL(2,C) jest iloczynem UT macierzy dodatniej T i macierzy unitarnej U. Bjab T wyrachował. Wiemy już, że nasz astronauta poleciał z szybkością v = - 0,74535599 i wiemy w jakim kierunku. Ale nie wiemy jeszcze o jaki kąt i względem której ze swoich osi obrócił następnie swój układ współrzędnych.
Mamy już teraz wszystkie dane by i to wyrachować. Trochę to żmudny rachunek i można się przy nim zaciąć.
Być może ktoś zechce to sobie samemu wyrachować? Przynajmniej spróbować?
Tak czy siak przerobimy to ćwiczonko w następnej notce.
No to była mała przygoda. Także dla mnie. Bowiem tak na 100% nie jestem pewien czy w tym co napisałem nie ma jakiegoś błędu-błędzika, lub zwykłego byka. Ale bez ryzyka co życie warte?
Starałem się, miałem dobre chęci. Ale dobrymi chęciami piekło jest wybrukowane. Tak to w nauce jest, że każda rzecz wymaga sprawdzenia przez innych. Jedne rzeczy w ten sposób się ostają. Inne przepadają. Czasem samemu wyłapuje się własne błędy, ale bywa, że dopiero po czasie, gdy zanikną stare nawyki, lub gdy trzeba rzecz sprawdzić i zastosować z jakiegoś innego powodu niż ten pierwotny. Zatem z innym spojrzeniem, z inną perspektywą. To wiem z własnego doświadczenia, ale, z tego co czytałem w historii nauki, moje doświadczenie jest podobne do doświadczeń innych ludzi.
W końcu dziś 13-ka - dzień feralny, zatem pomyłka w takim dniu miałaby swe uzasadnienie (na przykład przesądnością).
