W szczególnej teorii względności przejście pomiędzy dwoma układami inercjalnymi (przy milczącym założeniu, że takowe w rzeczywistości istnieją) dane jest albo przez rzeczywistą macierz 4x4 z grupy Lorentza, albo też, wygodniej i bliżej kwantów) przez zespoloną macierz z grupy SL(2,C). Ta druga opcja jest moim wyborem. W praktyce realizować to można na dwa sposoby. Sposób pierwszy polega na tym, że jeszcze na Ziemi uzgadniamy osie współrzędnych stacji naziemnej i statku kosmicznego, następnie statek kosmiczny startuje, nabiera prędkości, po czym orientuje swe osie tak jak nawigatorowi wygodnie. Sposób drugi polega na zmianie kolejności. Statek ustawia swe osie jak mu wygodnie jeszcze na Ziemi, nabiera zaś prędkości dopiero potem. Ponieważ szczególna teoria względności zachowuje milczenie na temat: „co się dzieje w stadium nabierania prędkości?” - taki punkt widzenia jest idealizacją. Dziwne, że taka idealizacja w ogóle do czegoś się nadaje, niemniej od ponad stu lat jest stosowana i fizycy nauczyli się jak omijać tu niebezpieczne rafy. Mając powyższe na uwadze opiszę teraz odpowiedni formalizm matematyczny – dość prosty, nic poza algebrą macierzy, którą zna bodaj każdy inżynier a i dla zainteresowanego ucznia szkoły średniej nie powinna ona przedstawiać trudności.
Każdą macierz A z grupy SL(2,C) można jednoznacznie rozłożyć na iloczyn macierzy unitarnej i macierz dodatniej – obie o wyznaczniku 1. Jest to ważne twierdzenie z algebry – twierdzenie o rozkładzie biegunowym, w języku angielskim „polar decomposition”, Jeśli zapiszemy to jako
A = TU
to, czytając z prawej do lewej, najpierw obracamy osie, potem nabieramy prędkości.
Jeśli zapiszemy to jako
A = U'T'
to najpierw nabieramy prędkości, potem obracamy osie. Macierze dodatnie to nabieranie prędkości bez obracania osi, macierze unitarne, to obracanie osi (przestrzennych) bez zmiany prędkości.
Macierz unitarna to taka, że UU*=U*U=I, gdzie * oznacza sprzężenie hermitowskie (sprzężenie zespolone i transponowanie), zaś I to macierz jednostkowa.
Macierz dodatnia to macierz hermitowska (t.j. macierz równa swojej hermitowsko sprzężonej), której wartości własne są dodatnie. Ponieważ wyznacznik takiej macierzy ma być równy 1, a macierz jest 2x2, czyli ma dwie wartości własne, to jedna z tych wartości własnych jest odwrotnością drugiej. W wartości własnej jest zakodowana prędkość. Jeśli macierz T zdiagonalizujemy, będzie ona miała postać,
[a 0]
[0 1/a]
v = (1-a4)/(1+a4)
Pozostaje jednak problem: jak odczytać prędkość i kierunek z ogólnej transformacji Lorentza?
Powiedzmy, że mamy macierz A – jak odczytać z niej prędkość? Można to zrobić tak:
Wiemy, że A rozkłada się, powiedzmy jako
A = UT
Najpierw startujemy, obracamy osie po nabraniu prędkości. Sprzęgając po hermitoiwsku obie strony dostajemy
A* = T*U*= TU*
(bo T*=T). Stąd
A*A=TU*UT=T2
(bo U jest unitarna).
Zatem A*A jest macierzą dodatnią (jej wartości własne są kwadratami wartości własnych macierzy T).
Jeśli macierz T przedstawimy w tej postaci, jeśli porachujemy na kartce papieru T2= A*A , jeśli ślad tej macierzy oznaczymy przez s, to będziemy mogli stąd wydedukować (jest trochę rachowania, ale prostego) następujący przepis:
Ktoś sprawny w rachunkach na macierzach zapewne to zechce sprawdzić. Cieszyłbym się z tego. Póki co przyjmijmy, że tak jest i spróbujmy zastosować na przykładzie.
Przykład:
Jedną z najprostszych, a jednocześnie dziwnych, transformacji typu z->(az+b)/(cz+d) jest transformacja inwersji:
z' = -1/z.
W tym przypadku bierzemy a=0,b=-1,c=1,d=0. Czyli nasza macierz A to [0,-1;1,0]. Macierz A* to [0,1;-1,0]. Iloczyn A*A to [1,0;0,1]. Obliczamy ślad:
s=1+1=2. Obliczamy s2 i dostajemy 4. I tu pojawia się problem: s2-4 = 0 i w naszej pięknej formule dostajemy nonsens – dzielenie przez zero! Co jest grane? Jak zdekodować inwersję? Hmmm....
Ten problem jest do rozwiązania. Rozwiązania nie znamy, zapewne gdzieś jest błąd?
Weźmy więc inny przykład. Inną prostą transformacją postaci (az+b)/(cz+d) jest
z' = z + 1.
Odpowiada to a=1,b=1,c=0,d=1. Nasza macierz A to [1,1;0,1]. Szybko obliczamy A*A:
A*A = [1,1;1,2]
Ślad s=1+2=3.
Zadanie: zdekodować poryw zawarty w macierzy A.
Zajmiemy się tą transformacją bliżej w następnej notce.
