W życiu to tak jakoś jest, że z jednej strony poszukujemy zmienności, by się na śmierć nie zanudzić, z drugiej jednak strony potrzebne nam punkty stałe. I takimi punktami stałymi się właśnie zajmiemy – w związku z przekształceniami Lorentza. Te, jak już to wiemy z poprzednich notek, działają na sferę – co wiąże się ze zjawiskiem gwiezdnej aberracji. To działanie na sferę opisywane jest szczególnie prosto gdy sferę zrzutujemy stereograficznie na płaszczyznę zespoloną. Miast transformacji Lorentza możemy wtedy używać macierzy zespolonej [a,b;c,d] o wyznaczniku 1, a transformacje można zapisać prosto jako:
z → z' = (az+b)/(cz+d)
Jedyne z czym się wtedy trzeba borykać, to to, że przy rzutowaniu stereograficznym wylatuje nam jeden punkt – ten z którego rzutujemy. Trzeba go nieco sztucznie do płaszczyzny zespolonej dodawać i nazywać „punktem w nieskończoności”. Można się jednak do tego przyzwyczaić. W końcu ∞ to estetycznie nie tak znów niemiły oku symbol!
Przypuśćmy więc, że mamy macierz A = [a,b;c,d] – o wyznaczniku 1: ad-bc=1, ta opisuje przekształcenie Lorentza, zwykle interpretowane jako przejście pomiędzy opisami zdarzeń w dwóch układach inercjalnych szczególnej teorii względności. Nasze przekształcenie działa na płaszczyznę zespoloną (i na sferę, zwaną też sferą Riemanna). Interesują nas punkty stałe tego przekształcenia. Ile ich też może być?
Punkt stały to taki, którego przekształcenie nie rusza. Zatem przyglądamy się równaniu
z'=z
czyli
(az+b)/(cz+d) = z
Skąd, mnożąc obie strony przez mianownik cz+d, dostajemy równanie kwadratowe na z:
az+b = cz2+dz
lub, przenosząc wszystko na jedną stronę:
cz2 + (d-a)z – b = 0.
Wiemy, ze szkoły choćby, jak się takie równania rozwiązuje. No, może nie z liczbami zespolonymi, ale metoda jest ta sama. Tylko: czy na pewno równanie kwadratowe? A co jeśli c=0? Ten przypadek musimy rozważyć osobno. Załóżmy na początek, że c jest różne od zera. Mamy wtedy faktycznie równanie kwadratowe na z postaci
Az2 +Bz +C = 0,
A=c
B = d-a
C = -b.
Obliczamy Deltę
Δ = B2 – 4AC = (d-a)2 + 4bc
i mamy rozwiązania
z = (- B ± ѴΔ)/2A
czyli
z = (a-d ± Ѵ((d-a)2 + 4bc))/2c
Jeśli Δ =0. wtedy mamy tylko jedno rozwiązanie. Przyjrzyjmy się najpierw tej możliwości.
Δ =0 oznacza (d-a)2 + 4bc = 0. Czyli d2 – 2ad +a2 + 4bc = 0, Ponieważ ad-bc =1, to 4bc =4ad-4. Wstawiamy to do równania d2 – 2ad +a2 + 4bc = 0 i otrzymujemy
0 = d2 – 2ad +a2+ 4ad – 4 = d2 + 2ad +a2 – 4 = (a+d)2 – 4.
Czyli
(a+d)2 = 4
Ale a+d to suma wyrazów na przekątnej naszej macierzy – jej ślad.
Wniosek:
Jeśli c jest różne od zera i kwadrat śladu macierzy jest różny od 4, to mamy dwa punkty stałe.
Jeśli c jest różne od zera i kwadrat śladu macierzy jest równy cztery – mamy jeden punkt stały.
Coś już wiemy. A co jeśli c = 0? Przypuśćmy, że c = 0. Mamy mieć det(A)=1 czyli ad-bc = 1. Jeśli c = 0, to ad = 1, zatem ani a ani d nie mogą być równe zeru.
Jeśli c=0 i a = d, to z ad = 1 wynika a = d =± 1 i nasze równanie na punkt stały:
(az+b)/(cz+d) = z
ma postać
z ± b = z
Punktem stałym jest wtedy∞ i jest to jedyny punkt stały. Jeśli zaś a jest różne od d, wtedy (pamiętamy, że rozważamy przypadek c = 0) dostajemy
az + b = dz
czyli
(d-a)z = b
czyli
z = b/(d-a)
Wniosek:
Jeśli c=0 to, gdy a=d=± 1, mamy jedyny punkt stały z =∞.
Gdy zaś c = 0 i d jest różne od a, wtedy mamy dwa punkty stałe:
z =∞ i z = b/(d-a)
Tak czy siak widzimy, że:o ile nasza transformacja nie jest transformacją identycznościową, gdy kwadrat śladu macierzy jest równy 4 (ślad =± 2) – mamy jeden punkt stały. W przeciwnym razie mamy dwa punkty stałe.
Transformacje z dwoma punktami stałymi nazywamy hiperbolicznymi. Transformacje z jednym punktem stałym nazywamy parabolicznymi.
Zwykłe trójwymiarowe obroty to transformacje hiperboliczne. Każdy taki obrót to obrót wokół jakiejś osi o jakiś kąt, i tam gdzie ta oś przecina sferę mamy punkty stałe (no, chyba, że jest to obrót o kąt zero, kiedy to każdy punkt jest punktem stałym)
Szczególne transformacje Lorentza, jak te dyskutowane w poprzedniej notce o gwiezdnej aberracji, też mają dwa punkty stałe. Przed dziobem rakiety i dokładnie za ogonem. Co więc za bies te transformacje o jednym tylko punkcie stałym? Jakieś chytre kombinacje obracania i przyśpieszania. Może warto im się przyjrzeć?
Przyjrzymy się w kolejnej notce.
