Mnie jednak interesuje aberracja od strony matematycznej: jako transformacja punktów na sferze.Jak transformacje Lorentza działają na punkty sfery, i jak to relatywistyczne przesuwanie punktów sfery ma się do nierelatywistycznego, tego opartego na transformacjach Galileusza?
Aby to zbadać potrzebna mi sfera i potrzebne mi punkty na tej sferze. Chciałbym, by punkty pierwotne były rozłożone na sferze „równomiernie”. Niestety, stoi tu na przeszkodzie geometria z dziwnymi jej prawami, bowiem okazuje się, że na sferze nie da się rozmieścić równomiernie więcej niż 20 punktów. 20 punktów to max! Przynajmniej w naszych trzech wymiarach. A te dwadzieścia punktów to wierzchołki dwunastościanu foremnego. (Radzę kliknąć na ten link i zajrzeć do Wikipedii):
No dobra, dwadzieścia, dobre i to, więc pozostańmy przy dwudziestu i cieszmy się. Oto jak wygląda mój niezdeformowany dwudziestościan:
W każdym z 20 wierzchołków mamy upatrzoną gwiazdę.
Teraz wsiadamy do rakiety z antygrawitacyjnym napędem, przyciskamy przycisk, i natychmiast zaczynamy lecieć z prędkością v w kierunku tej żółtej gwiazdy.
Wybrane gwiazdy, których położenia wcześniej zaznaczyliśmy na panoramicznych oknach rakiety, zaczynają się przesuwać.
Rakieta ma dodatkowy przełącznik. Mianowicie możemy wybrać czy chcemy być w świecie rządzonym przez transformacje Galileusza czy też może w świecie gdzie do Sejmu weszły transformacje Lorentza, zaś te Galileusza nie weszły. Jako, że jesteśmy konserwatywni, zaczynamy od transformacji Galileusza.
Matematycznie najprościej można się do tego zabrać tak:
Teraz tylko za nx,ny,nz należy wybrać współrzędne wierzchołków dwudziestościanu, wziąć jakieś v jako część prędkości światła i zobaczyć jak się przesuną nasze gwiazdy. Oto wynik dla v = 0.5 c.
Czerwone są położenia pierwotne, zielone – to po nabraniu prędkości. Możemy teraz dodać gazu – do 0.9 c. Oto wynik:
Ośmieleni, wrzucamy v=0.999 c. Niewiele się zmienia:
Heh, zaczyna być nudno. Przerzucamy się więc do świata z transformacjami Lorentza. Tu matematyka transformacji jest nieco inna:
Zaczynamy od 0.5 c.
Prawie to samo co w świecie Galileusza. Dalej przesuwamy dźwignię prędkości na 0.9 c:
Zaczynamy się domyślać co jest grane. Sprawdzamy nasze domysły wrzucając v=0.999 c.
Jasne teraz. Wszystkie gwiazdy, z wyjątkiem tej jednej za naszymi plecami, skupiły się w czołowym oknie, w jego centrum.
Czy my to lubimy? Czy dobrze to, czy może źle? Czy tak będzie w istocie, gdy pojawi się technologia antygrawitacyjnego napędu z możliwością niemal natychmiastowego przyśpieszania do wybranej prędkości - tak jak to podobno jest z UFO? Przyszłość pokaże.
Zajmowaliśmy się dotąd
a) obrotami
b) szczególnymi transformacjami Lorentza
Czas by je teraz złożyć i zobaczyć jakie to efekty mogą się pojawić przy transformacjach „nieczystych”. O tym w kolejnej notce.
