Poznaliśmy formułę na szczególną transformację Lorentza. Ale była to formuła szczególnie szczególna. Transformowały się jedynie współrzędne z,t. Współrzędne x,y przy tym się nie zmieniały. Tymczasem wygodnie byłoby mieć transformację nieco ogólniejszą, mianowicie odpowiadającą na takie zapotrzebowanie: wsiadamy do pojazdu kosmicznego i startujemy w kierunku n z prędkością v. Kierunek n określony jest przy tym przez wektor jednostkowy n =(nx,ny,nz), nx2+ny2+nz2= 1. Gdy n = (0,0,1), wtedy mamy nasz dotychczasowy przypadek – lot w kierunku osi z. Ale przecież chcielibyśmy także latać w innych kierunkach. Jak scharakteryzować matematycznie „szczególne transformacje Lorentza”? To znaczy te odpowiadające wejściu na pokład statku kosmicznego i wystartowanie w danym kierunku, bez żadnego innego manipulowania osiami współrzędnych?
Można do tego problemu podchodzić na kilka sposobów. Inaczej będzie zabierał się do tego fizyk, inaczej astronauta, jeszcze inaczej matematyk. Wybiorę drogę matematyka, trochę dlatego, że, choć fizykę kocham, (nie wiem jak to jest ze wzajemnością), to bardziej ufam matematyce niż fizyce (nie mówiąc już o astronomii). Powrócę do twierdzenia o rozkładzie biegunowym:
Każda macierz A z grupy SL(2,C) rozkłada się jednoznacznie na iloczyn
A = TU
gdzie U jest macierzą unitarną z grupy SU(2), zaś T jest macierzą dodatnią o wyznaczniku 1. Co robią macierze unitarne U już wiemy: to są zwykłe obroty trzech kartezjańskich osi x,y,z – tyle, że z przełożeniem 2:1. To już przerabialiśmy. Skoro sztywne trójwymiarowe obroty są zakodowane w U, zatem cała tajemnicza relatywistyczna reszta musi siedzieć w T – w macierzach dodatnich o wyznaczniku 1. To one muszą być odpowiedzialne za start statków kosmicznych. Warto się więc nimi zająć.
Najpierw: co to są macierze dodatnie? Macierz dodatnia to przede wszystkim macierz hermitowska. Musi być zatem postaci
[a b]
[b* d]
gdzie a i d są liczbami rzeczywistymi, b jest liczbą zespoloną b = X+iY, zaś b* liczbą do niej sprzężoną b* = X-iY (gdzie X,Y są rzeczywiste). Jeśli nasza macierz ma mieć wyznacznik 1, to ad-bb* =1.
Macierz dodatnia, to taka macierz hermitowska, która ma dodatnie wartości własne. Wyznacznik jest iloczynem wartości własnych, ślad jest ich sumą. Skoro nasz macierz ma mieć obydwie wartości własne dodatnie, to iloczyn i suma muszą być dodatnie. Zatem nasza macierz T winna mieć ślad i wyznacznik dodatni. Wyznacznik ma dodatni z założenia, bowiem T ma być z grupy SL(2,C) – grupy macierzy o wyznaczniku 1. Pozostaje więc ślad; A ślad to a+d. Zatem a+d ma być dodatnie.
Każdą macierz hermitowską możemy zapisać w postaci
[T+Z,X+iY]
[X-iY,T-Z]
Dyskutowaliśmy już to. O dziwo macierze hermitowskie kodują w sobie strukturę przestrzeni Minkowskiego. To miłe. Jeśli wyznacznik naszej macierzy ma być jedynką, to
T^2-X^2-Y^2-Z^2 =1. Jeśli ślad ma być dodatni, to 2T ma być dodatnie, czyli T ma być dodatnie. Zatem
To równanie hiperboloidy jednostkowej.
Wniosek: Każdej szczególnej transformacji Lorentza odpowiada punkt na hiperboloidzie jednostkowej, i każdemu takiemu punktowi odpowiada szczególna transformacja Lorentza.
Chcielibyśmy jednak jakoś zgrabniej takie transformacje zapisać, by było lepiej widać co dana transformacja „robi”. Najprostszą transformacją jest transformacja identycznościowa:
[1 0]
[0 1]
Ta w ogóle nic nie robi. Na przekątnej mamy jedynki. Zatem „robienie” można próbować odczytać z tego na ile wyrazy na przekątnej różnią się od jedynki.
Wyciągnę teraz królika z rękawa:
Twierdzenie:
Każdą macierz dodatnią T o wyznaczniku 1 można jednoznacznie zapisać w postaci:
O tym, że wyznacznik naszej macierzy jest jedynką można się łatwo przekonać. Występuje w niej wektor jednostkowy n. To zapewne kierunek startu naszego statku kosmicznego. A gdzie jest ukryta jego prędkość? Możemy to odkodować wybierając n = (0,0,1). Wtedy nasza macierz ma postać:
Nasza macierz ma wtedy opisywać „boost” (mój znajomy z Komisji Nazewnictwa wymyślił kiedyś polski odpowiednik: „popych”) w kierunku osi z. Te dyskutowaliśmy w poprzedniej notce. Współczynnik a z poprzedniej notki wynosi więc:
Z drugiej strony, z poprzedniej notki, wiemy, że
Stąd już można łatwo wyrazić k przez v, i v przez k. Formułki są trochę pokraczne, w szczególności pojawia się „minus”:
Jak to można rozumieć? W przekształceniu Lorentza mamy:
x' = (x-vt)/....
Jeśli weźmiemy początek układu primowanego, x'=0, to otrzymamy równanie x=vt. Zatem początek układu primowanego porusza się względem układu nieprimowanego z prędkością v.
Możemy jednak nasze formuły interpretować aktywnie. Miast mówić o przejściach z jednego układu odniesienia do drugiego i przyglądaniu się temu jak z obydwu układów będzie wyglądać to samo zdarzenie, możemy podziałać transformacją na zdarzenie. Jak będzie wyglądało dane zjawisko, wciąż z naszego układu odniesienia, jeśli zajdzie ono na rakiecie wprawionej w ruch. Jeśli rakieta porusza się względem nas z prędkością v, to my poruszamy się względem rakiety z prędkością -v. By opisać zjawiska na takiej rakiecie, ale w naszym układzie, musimy zastosować transformację Lorentza w której wystąpi -v zamiast v.
Innymi słowy: współczynnik k>0 oznacza, że wprawiamy dane ciało w ruch, w kierunku wektora n.
Na koniec dzisiejszej notki jeszcze wyjaśnię czemu właśnie taką a nie jakąś inną postacią macierzy T się zająłem. Otóż tak wyszło, bowiem chcę upiec dwie pieczenie naraz. Z jednej strony mamy szczególną teorię względności, transformacje Lorentza, aberracje … Z drugiej strony... No właśnie, co z drugiej strony?
Pomińmy ten współczynnik przed macierzą – przeszkadza nam w przejściu do granicy k=1, co odpowiada przejściu z v do prędkości światła (fizyk nazywa czasem takie pominięcie niewygodnego, eksplodującego czynnika „renormalizacją”). Mamy wtedy macierz
Możemy przejść do granicy k=1. Otrzymamy:
Z dokładnością do współczynnika 1/2 i znaku przy ny jest macierz znana w mechanice kwantowej jako „rzut spinu na kierunek n” . Oto przykładowo strona z podręcznika Schiffa „Mechanika kwantowa”:
---------------
Mamy więc dwie różne możliwe interpretacje tych samych macierzy:
a) Relatywistyczne „popychy” (boosty)
b) Nieostre pomiary kierunku spinu elektronu (czy protonu)
Mnie osobiście to zastanawia. Czy to jedynie matematyczny zbieg okoliczności, czy też, może, u podłoża obydwu leżą podobne procesy gdzieś na jakimś głębszym poziomie? Stawiam na to drugie.
W następnej notce każemy naszym macierzom działać na sferę - czy to sferę niebieską z astronomii, czy też na sferę kierunków spinu elektronu. Jak na górze – tak na dole, mawiają mistycy.
