W ostatniej notce otrzymaliśmy szczególną transformację Lorentza – gdy przekształceniu ulegają współrzędne z oraz t, zaś x i y pozostają niezmienione. Transformacja ta jest generowana przez niezwykle prostą macierz z grupy SL(2,C), mianowicie przez macierzA

Special Lorentz transformation SL(2,C) matrix

gdzie a jest liczbą rzeczywistą nieujemną. Miast używać a jako parametru transformacji okazało się, że można użyć innej zmiennej, mianowicie v, byle tylko było

-1 < v < 1

Parametr a wyraża się przy tym przez v formułą:

Porównując otrzymane przez nas wzory ze wzorami szczególnej teorii względności widzimy, że nasze v to nic innego niż podręcznikowe v/c, gdzie c jest prędkością światła. Często stosunek v/c oznacza się symbolem β, jednak ze względów typograficznych będę dalej pisał v.

Nasza macierz A jest macierzą z grupy SL(2,C) – jej wyznacznik jest równy jedynce. Każda zaś macierz z SL(2,C) działa na płaszczyźnie zespolonej Z=X+iY według prostej formuły: dla macierzy

[a b]

[ c d]

przekształcenie Z-ta ma postać:

Z' =(aZ+b)/(cZ+d)

Dla naszej macierzy A mamy ewidentnie b=c=0, d= 1/a. Nasza więc macierz generuje takie przekształcenie płaszczyzny zespolonej:

Z' = a² Z

Niezwykle proste! Po prostu rozciąga (lub skraca, zależnie od tego czy a>1 czy też <1) całą płaszczyznę równomiernie we wszystkich kierunkach.

Ale, płaszczyzna zespolona, choć, do pewnego stopnia, wygodna matematycznie, sama nie ma jasnego sensu fizycznego. Sens fizyczny ma sfera niebieska z której do płaszczyzny zespolonej przechodzimy przez rzut stereograficzny. O rzucie stereograficznym pisałem już poprzednio nie raz, teraz go mamy okazję użyć.

Chcemy wyrachować co będzie nasza szczególna transformacja Lorentza czyniła z punktami sfery.

Biorę więc punkt o współrzędnych x,y,z na sferze jednostkowej. Skoro punkt leży na sferze jednostkowej, to mamy

x² + y² + z² = 1.

Rzutuję go stereograficznie na płaszczyznę:

X = x/(1-z)

Y = y/(1-z)

Teraz na (X,Y) dokonuję naszej transformacji:

X' = a²X

Y' = a²Y

Po czym wracam na sferę przez transformację odwrotną do rzutu stereograficznego:

x' = 2X'/(1+X'²+Y'²)

y' = 2Y'/(1+X'²+Y'²)

z' = (-1+ X'²+Y'²)/(1+X'²+Y'²)

Trzeba teraz trochę się narachować. Proste choć nieco żmudne. Podstawić, wyrazić a przez v, poupraszczać. Można rachować z ołówkiem w brulionie, można pomóc sobie, na przykład, komputerem i Maximą. Wynik jest taki:

Tu jeszcze nie bardzo widzimy co się dzieje. Wprowadźmy więc współrzędne sferyczne, kąty θ,φ.

Różni ludzie w różnych miejscach różnie kąty oznaczają. Tutaj i teraz umówmy się, że kąt θ to kąt pomiędzy punktem na sferze a osią z, może się zatem zmieniać od 0 do pi (180 stopni), zaś φ to „długość geograficzna” - zmienia się od 0 do 2 pi (360 stopni). W takim układzie współrzędnych mamy:

x = sin θ cos φ

y = sin θ sin φ

z = cos θ

Widzimy, że y/x = tan φ. Widzimy też, że y'/x' = y/x – zatem φ się przy naszej transformacji nie zmienia:

φ' = φ

Zmienia się natomiast szerokość geograficzna punktu na sferze:

cos θ' = (cos θ – v)/(1 – v cos θ)

Szerokość geograficzna (lepiej „astronomiczna”) może się zmniejszyć lub zwiększyć, zależnie od wartości θ i wartości v.

Nie odkryliśmy tu niczego nowego. W pracy Weiskopfa „Fast Visualization of Special Relativistic Effects on Geometry and Illumination”

znajdujemy dokładnie tą samą formułę:

W tej czy podobnej wersji formuła ta figuruje w podręcznikach szczególnej teorii względność i astronomii. Efekt nazywa się efektem aberracji gwiezdnej i został podobny odkryty obserwacyjnie przez brytyjskiego astronoma Bradleya ok roku 1725. (J. Bradley "Account of a New Discovered Motion of the Fixed Stars" Phil. Trans. 35 p. 637 (1728)) Rzecz w ty, że względem „bardziej nieruchomego” układu odniesienia, tego związanego z gwiazdami stałymi, Ziemia, na swej orbicie wokół Słońca, ma w lecie prędkość v o przeciwnym zwrocie w stosunku do v w zimie).

Teoria względności do wyprowadzenia swej formuły Bradleyowi potrzebna nie była. Wystarczyła mu skończona prędkość światła. No i jego formuła tylkow przybliżeniu pokrywa się z tą naszą – dla „małych v”.

Podobno (tak piszą w podręcznikach astronomii do których zaglądałem) dokładność pomiarów jest wciąż zbyt mała, by można było sprawdzić czy relatywistyczna formuła (ta, którą otrzymaliśmy) jest w istocie dokładniejsza niż klasyczna, otrzymana z mechaniki Galileusza i Newtona. Rozwijając (cos θ – v)/(1 – v cos θ) w szereg potęgowy względem v i zostawiając tylko wyrazy liniowe dostajemy mianowicie:

cos θ' = cos θ – v sin² θ + ….

I to się daje astronomicznymi obserwacjami sprawdzić. Trzeba przy tym uwzględnić też efekt paralaksy, bo w lecie i w zimie Ziemia nie tylko porusza się w różnych kierunkach, ale dodatkowo znajduje się w innym punkcie względem gwiazd.

Warto zajrzeć tutaj: