Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
2354
BLOG

Szczególna transformacja Lorentza

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 140

 Czemu zajmować się transformacjami Lorentza? Dlatego, że leżą u podstaw szczególnej teorii względności Einsteina? A jak długo ta teoria przetrwa? 10 lat? Dwadzieścia? Sto? Nikt tego nie jest w stanie przewidzieć. Bo, jak to mądrze zauważył chiński filozof Lao Tzu

 
Those who have knowledge, don't predict. Those who predict, don't have knowledge'”
 
Ci co mają wiedzę nie przewidują. Zaś ci co przewidują wiedzy nie mają.
 
No tak, ale coś tam jednak przewidzieć można. Można trochę ekstrapolować – w oparciu o rzetelne dane. Choć jedynie w przyszłość najbliższą, na krótką metę. Po pierwsze dlatego, że mamy do czynienia z procesami złożonymi, nieliniowymi, po drugie zaś w każdej chwili może coś nowego a istotnego wyskoczyć. W czasach dzisiejszych nowe informacje i nowe metodologie badań przychodzą co i rusz. Zmieniają się zasoby dostępnych nam danych faktograficznych. W tej sytuacji zmianie winny ulec dotychczasowe metody edukacji. Miast uczyć winniśmy uczyć jak się samemu uczyć. Winnismy uczyć efektywnych metod przyswajania sobie samemu wiedzy i to na bieżąco, z dnia na dzień. Inaczej z chwilą ukończenia edukacji spora jej część będzie już przestarzała i psu na buty zdatna.
 
Z tych to powodów zajmuję się tu przekształceniami Lorentza niejako od końca. Miast wyprowadzać jej, jak Pan Bóg przykazał, z postulatów szczególnej teorii względności, wyprowadzam je z elementarnej algebry macierzy. Jest w tym cel, jest w tym zamysł. Bowiem choć sama szczególna teoria względności może zostać zastąpiona czymś innym, to przekształcenia Lorentza pozostaną i znajdą zastosowania w różnych rodzajach technologii. Dlaczego tak mówię: bo są oparte na pięknej i eleganckiej matematyce. Tak było w przeszłości. Teorie fizyczne rodziły się i umierały. Rozwinięte dzięki tym teoriom metody matematyczne – pozostawały i stanowiły punkt wyjścia dla innych teorii.
 
W poprzedniej notce, startując od tabelki z liskiem wyprowadziliśmy formuły na obroty przestrzenne. Wystartowaliśmy od założenia, że interesują nas jedynie te transformacje Lorentza, które nie ruszają osi z i t, ruszają jedynie x i y. No i dostaliśmy zwykłe obroty. Dziś zrobimy coś dopełniającego: zajmiemy się tymi transformacjami, które nie ruszają x i y, ruszają jedynie z i t. Popatrzmy co nam wyjdzie.
 
Powróćmy do tabelki z liskiem:

Interesują nas te elementy grupy SL(2,C), czyli te macierze
 
[a b]
[c d]
 
o wyznaczniku ad-bc =1, które prowadzą do transformacji czasoprzestrzeni postaci

 
Nie będę tym razem już tak szczegółowy w wyciąganiu wniosków z warunków takich jak
 
L(1,1)=1, L(1,2) = 0,L(1,3) = 0, L(1,4) = 0, L(2,1) = 0, L(2,2) = 1, itd. Razem 16 – 4 = 12 równań. To dobre ćwiczenie na zimowe wieczory. Podam od razu wynik:
 
Twierdzenie: Macierz z SL(2,C) spełnia te warunki wtedy i tylko wtedy, gdy
 
  1. b = c =0,
  2. a jest rzeczywiste, różne od zera, i d = 1/a.
 
Z tabelki z liskiem znajdujemy wtedy, że
 
L(3,3) = L(4,4) = (a2 + 1/a2)/2
L(3,4) = L(4,3) = (a2 – 1/a2)/2
 
We wzorach w tabelce z liskiem widzimy, że po prawej stronie mamy zawsze iloczyny dwóch elementów macierzy. Stąd wynika, że macierz A i -A dają tą samą transformację L czasoprzestrzeni (bo -1 razy -1 = 1). Przełożenie 2:1 – jak o tym pisałem w poprzedniej notce przy okazji rozważania samych obrotów w przestrzeni. Wystarczy więc, że zajmiemy się przypadkiem gdy a>0.
 
Postać (a2 + 1/a2)/2 jest nieco niewygodna. Wprowadzę więc zamiast a nową zmienną, nazwę ją v. Jest to, z mojej strony, jakby wyciąganie królika z rękawa. Czemu taki królik a nie inny? Czemu z tego a nie z innego rękawa? Otóż magii można się nauczyć. A nauka magii polega na tym, że najpierw jest się uczniem u zawodowego magika i przygląda się temu jak on robi sztuczki. Ewentualnie pomaga się w przygotowywaniu rekwizytów. Każda sztuczka jest inna, jednak łatwiej rzecz pojąć na przykładach niż poprzez jakąś teorię. Otóż, zamiast parametru a, mogącego przyjmować dowolne wartości większe od zera, wprowadzę parametr v dany przez formułę:
 
v = (1-a4)/(1+a4)
 
Wykres zależności v od a wygląda tak:
 

 
Poszedłem sobie na stronę Graphing Calculator & Scientific Calculator Online i tam mi ten wykres się zrobił. Stamtąd go też skopiowałem. Widać, że funcja v(a) jest monotonicznie malejąca. Gdy a zmienia się od 0 do nieskończoności, wtedy v zmienia się 0d 1 do -1.
 
Mając zależnośc v od a można stąd wyliczyć jak a wyraża się przez v:
 

 
Można też stąd wyliczyć (a2 + 1/a2)/2 i (a2 – 1/a2)/2. Można zatem wyliczyć L(3,4),L(4,3),L(3,3),L(4,4). Rachunek to zaprawdę prosta algebra Oto wynik:
 
L(3,4) = L(4,3) = -v/√(1-v2)
L(3,3) = L(4,4) = 1/√(1-v2)
 
Pamiętajmy o tym, że L jest macierzą transformacji współrzędnych czasoprzestrzeni, gdzie czwartą współrzędną jest „czas” t. Nasze transformacja można więc zapisać tak:
 
x' = x
y' = y
z' =(z - vt)/√(1-v2)
t' = (t – vz)/√(1-v2)
 
Są to wzory na transformację Lorentza, można je porównać z tymi z Wikipedii: Transformacja Lorentza. Jedyna różnica jest taka, że normalnie, podręcznikowo, zmienia się x i t, zaś y i z są nieruchome, u nas zaś zmienia się z i t, zaś x,y są nieruchome. No i u nas przyjmujemy, że c = 1.
 
W szczególnej teorii względność v interpretowane jest jako prędkość jednego układu odniesienia względem drugiego. Jaką interpretację nadać parametrowi „a”? Tego na razie nie wiemy. Wiemy natomiast, że jest on niejako „bardziej naturalny” gdy się weźmie pod uwagę „składanie prędkości”. Złóżmy bowiem dwie transformacje, jedną z a, drugą z a'. Mamy więc dwie macierze z grupy SL(2,C): macierz A i A'
 
A = [a,0;0,1/a]
A' =[a',0;0,1/a']
 
Składanie transformacji to mnożenie macierzy. Obie macierze są tu diagonalne, zatem wynik ich mnożenia nie zależy od kolejności. Dostajemy:
 
A'' = AA' =[aa',0;0,1/(aa')]
 
Wniosek: przy składaniu naszych transformacji współczynniki a się po prostu mnożą. Logarytmy (przyjmując a>0) z nich się dodają.
 
Z parametrami v sytuacja natomiast się komplikuje. Można wyliczyć parametr v'' dla a'' = aa', i wyrazić go przez v oraz v'. Znów proste ćwiczenie z algebry. Wynik:
 
v '' = (v+v')/(1+vv')
 
Jest to „relatywistyczne dodawanie prędkości” - można je znaleźć, guglując, na przykład tutaj.
 
Podsumujmy zatem:
 
Szczególne transformacje Lorentza dane są przez niezwykle proste macierze zespolone 2x2, mianowicie te postaci
 
[a 0]
[0 1/a]
 
Gdzie a jest dowolne, rzeczywiste, byle różne od zera. Macierze te „generują” transformacje czasoprzestrzeni, gdzie osie x,y pozostają na swoim miejscu, zaś współrzędne z i t ulegają transformacji zwanej „szczególną transformacją Lorentza”.
 
Wypadałoby teraz zbadać co się przy tym dzieje ze sferą niebieską. Tym zajmiemy się jednak w następnej notce.
 
Apel do Czytelnika: Czytelniku, jeśli czegoś nie zrozumiałeś, a chciałbyś zrozumieć - PYTAJ! Na pytania jestem zawsze otwarty i staram się zawsze dopasować moje odpowiedzi do rodzaju pytań.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie