Przyroda jest jak zegar na wieży. Widzimy poruszające się wskazówki, posługujemy się ich wskazaniami, ale na wieżę nie mamy dostępu. Zegarmistrza, który zegar stworzył, a także wewnętrznych mechanizmów musimy się jedynie domyślać. Pozostają nam spekulacje, hipotezy, no i hipotez testowanie. Na przykład porównując tempo ruchu wskazówek z tempem przebiegu innych procesów w lecie i zimie zauważamy rozbieżności. Możemy stąd spekulować, że mają one coś wspólnego z temperaturą. Możemy wysunąć hipotezę o istnieniu w zegarze na wieży wahadła.
Proponuję byśmy przyjrzeli się takiemu jednemu zegarowi:
W zaglądaniu w to co jest wewnątrz murów wieży może nam pomóc matematyka. W końcu, jeśli ktoś nie ma daru jasnowidzenia, musi posłużyć się jakimś innym dostępnym narzędziem. Matematyka świetnie się do tego celu nadaje.
Proponuję dziś zatem próbę zajrzenia do wnętrza mechanizmu napędzającego naszą trójwymiarową przestrzeń. Na trop tego mechanizmu naprowadziła nas mechanika kwantowa, a dokładniej: fakt istnienia cząstek elementarnych o połówkowym spinie, takich jak np. elektron i proton. By matematycznie opisać obserwowane fakty trzeba było zrobić użytek z macierzy 2x2 o zespolonych współczynnikach. Macierze te działają na kolumienki-wektory – te nazywają się „spinorami”. Jednak na razie spinorami zajmować się nie będziemy. Wystarczą nam same macierze.
O grupie macierzy zespolonych 2x2 o wyznaczniku 1, oznaczanej symbolem SL(2,C) pisałem ostatnio w całej serii notek. Dziś kontynuuję notkę poprzednią Teoria względności z liskiem. Wyjdziemy od podanych tam formuł wiążących macierze zespolone 2x2 z rzeczywistymi macierzami 4x4 – transformacjami Lorentza. Zespolone macierze z SL(2,C) działają w wieży spinorów. Rzeczywiste macierze Lorentza to wskazówki w naszej czasoprzestrzeni. Jednak wskazówką „czasu” nie będziemy się na razie zajmować. Ograniczmy się do wskazówki przestrzeni.
Uwaga: Będziemy zajmować się obrotami przestrzennymi. Na razie nic więcej nie musimy o nich wiedzieć, niż to:
A nawet jeszcze prościej: zostawmy w spokoju wskazówkę osi z. Przyjrzyjmy się wskazówce osi x i y i przeanalizujmy napędzający ją mechanizm. Przypomnę „tabelkę z liskiem” z poprzedniej notki:
A skoro nie chcemy ruszać ani czasu, ani osi z, zatem jedyne elementy macierzy transformacji L do zbadania to te (patrz poprzednia notka):
Uwaga: Kto nie czytał poprzedniej notki, tego usilnie namawiam do zajrzenia do niej. Jest krótka i przeczytanie jej nie powinno stanowić trudności.
Innymi słowy: chcemy wyciągnąć wnioski z faktu, że aż tyle ze współczynników macierzy L ustaliliśmy i zobaczyć jakie to tryby napędzają jedynie cztery z szesnastu współczynników L(i,j), mianowicie L(1,1),L(1,2),L(2,1),L(2,2).
W tabelce „z liskiem” w oczy rzucają się formuły (11),(12),(15),(16). Są jakieś inne od pozostałych, jakby mniej straszne. Więc zajmijmy się nimi. Co wiemy? Wiemy, że
L(3,3) =1 (bo nie ruszamy osi z)
L(3,4) = 0 (bo nie ruszamy osi czasu)
L(4,3) = 0 (z tego samego powodu)
L(4,4) = 1 (z tego samego powodu)
Otrzymujemy w ten sposób cztery równania:
Aż się prosi by dodać je stronami. Gdy to zrobimy, otrzymamy
4|a|2= 4,
Czyli
|a| = 1.
No, no, czegoś tam dowiedzieliśmy się. Teraz, skoro już znamy sztuczkę, w podobny sposób możemy wyliczyć |b|,|c| i |d|. Ćwiczonko proste. Ba przykład, by wyliczyć |b| mnożymy równanie (1) i (3) przez -1, i dodajemy wszystkie cztery równania stronami. Otrzymamy
4|b| = 0
czyli
b = 0.
Podobnie otrzymamy
c = 0
oraz
|d| = 1.
Ale, ale. Nasza macierz ma być z grupy SL(2,C), czyli wyznacznik ad-bc = 1. Ponieważ b=0 (a i też c), zostaje stąd
ad =1
Czyli
d =1/a
Liczba a ma mieć moduł |a| równy 1. To czysta faza. Ta liczba zespolona leży na płaszczyźnie zespolonej na okręgu o promieniu 1. Można ją zapisać jako:
a = cos ϕ + i sin ϕ
lub też jako
a = eiϕ
Liczba zespolona d jest liczbą odwrotną do a, zatem
d = 1/a = e-iϕ .
Lub
d = cos ϕ – i sin ϕ
Mamy więc postać naszej macierzy 2x2:
[eiϕ 0]
[0 e-iϕ ]
Mając a,b,c,d możemy teraz wyliczyć widziane przez nas wskazówki – współczynniki macierzy L(i,j) obracające współrzędne punktów przestrzeni. Na przykład, z tabelki z liskiem, L(1,1) winno być częścią rzeczywistą z iloczynu a i d sprzężone (bo b=c=0). Ale d sprzężone to a. Czyli L(1,1) to "a" w kwadracie. Skoro a = eiϕ , to "a" w kwadracie to e2iϕ = cos 2ϕ + i sin 2ϕ. Część rzeczywista z tego, to cos 2ϕ . W podobny sposób, z tabelki z liskiem, możemy wyliczyć całą macierz L
L(1,1) = cos 2ϕ
L(1,2) = - sin 2ϕ
L(2,1) = sin 2ϕ
L(2,2) = cos 2ϕ
Jest to dobrze znana macierz obrotu o kąt 2ϕ na płaszczyźnie. Widzimy, że o dziwo, gdy ϕ zmienia się o 360 stopni, kiedy to macierz spinowa wraca do punktu wyjścia, to macierz L, wskazówka widziana przez nas na zegarze przestrzeni, obraca o 720 stopni. By macierz L wróciła do punktu wyjścia wystarczy zmienić ϕ o 180 stopni. Wtedy macierz spinowa zmienia znak, bowiem, jak uczy trygonometria:
cos(ϕ + π) = - cos(ϕ),
sin(ϕ + π ) = - sin(ϕ).
Innymi słowy: zębate koło spinowe ma dwa razy więcej trybów niż koło przestrzeni. Przekładnia 2:1
Lub, by pokazać wyraźniej:
A jeszcze lepiej w ruchu:
I tak to zajrzeliśmy, przy pomocy matematyki macierzy, do wnętrza mechanizmu zegara napędzającego wskazówki przestrzeni. A ile innych kół zębatych i innych, bardziej wymyślnych mechanizmów tam się kryje?
Ale: samych obrotów jeszcze dobrze nie zgłębiliśmy. Znamy na razie przekładnię, nie znamy ani kształtu, ani wzajemnego położenia zębatek. Mamy więc co badać. Zajmiemy się tym w kolejnych notkach.
