Zdarzenia-punkty czasoprzestrzeni możemy zapisywać w tabliczkach. Nie wiem kto pierwszy na to wpadł. Może już Hetyci? Choć o ich wkładzie w naukę nic nie słychać, to jednak zasłynęli swym tak trudnym do odcyfrowania pismem klinowym, a pisali właśnie na tabliczkach:
Ileż to trudu trzeba było by je odczytać! A trudne to było m.in. dlatego, że nikt nie przypuszczał, że Hetyci należeli do ludów indoeuropejskich. Czyli ich słownictwo miało cechy wspólne n.p. z językiem angielskim czy niemieckim. Gdy zdano sobie z tego sprawę, wtedy już poszło z górki, choć i do dziś nie wszystko co po Hetytach się ostało zostało do końca rozszyfrowane. A samo wielkie imperium Hetytów
„There are even those, among historians, who suggest it was no invading army to engulf all of the ancient Near East in flames, but rather a “fire from Heaven”, perhaps a large meteorite or a comet.”
Ale powróćmy do zdarzeń czasoprzestrzeni i ich zapisu pismem niejako klinowym na kwadratowych tabliczkach – macierzach o dwóch wierszach i dwóch kolumnach z liczbami zespolonymi w klatkach macierzy.
Zdarzeniu, które, w danym układzie inercjalnym współrzędnych czasoprzestrzennych, zaszło w chwili T i w punkcie przestrzeni o współrzędnych X,Y,Z przyporządkowujemy tabliczkę:
Zdecydowałem się na takie właśnie przyporządkowanie, z (1/2) na początku, przed macierzą, bo tak mi jakoś prościej. Inni ludzie robią to nieco inaczej. To o czym teraz piszę znaleźć można na przykład w angielskiej Wikipedii pod hasłem „Lorentz group” w częściach „Relation to the Möbius group” i „Appearance of the night sky”. Ja, w porównaniu z Wikipedią, mam (1/2) i odwrócony znak przy urojonym „i”. Tak, jak się wkrótce okaże, wygodniej. Jak to zrobimy to kwestia wygody i umowy. Tyle, że jak już się ktoś na coś umówi, to winien w tej umowie być konsekwentny w czasie obliczeń i wyciągania z tych obliczeń wniosków.
Ślad tr(P) naszych macierzy P (suma wyrazów na przekątnej) jest równy (1/2)(T+Z+T-Z) = T. To wygodne. Wyznacznik det(P) jest równy (1/4)((T+Z)(T-Z)-(X+iY)(X-iY)), czyli
det(P) = (1/4)(T2- X2 - Y2 - Z2)
To (ta 1/4) to trochę mniej wygodne, ale nie tak znów niewygodne. Zauważmy, że nasze macierze są osobliwe (wyznacznik = 0) na stożku świetlnym, gdzie T2- X2 - Y2 - Z2 = 0.
Nasze macierze są hermitowskie: transponowanie macierzy jest tym samym co zespolone sprzężenie (zmiana znaku przy „i”).
Jeśli ogólną macierz 2x2 zapiszemy jako:
wtedy z naszej macierzy P możemy na powrót odczytać (T,X,Y,Z):
Gdy P jest hermitowska i o wyznaczniku zero, wtedy odczytane stąd T,X,Y,Z są współrzędnymi punktu na stożku świetlnym.
Gdy ślad z macierzy P jest równy 1, wtedy (T,X,Y,Z) są współrzędnymi punktu na przecięciu stożka świetlnego z płaszczyzną T=1, czyli na dwuwymiarowej sferze.
I tak mamy Plan 4 z poprzedniej notki. Teraz należy nasze plany uczynić dynamicznymi. Zacząć coś z nimi robić. Mamy cztery kółka zębate, zazębiające się, i gdy pokręcimy jednym, wtedy zaczną obracać się i inne. Ale jak i w którą stronę? O tym w następnej notce.
