Dziś zbierzemy i podsumujemy ważną część naszej nauki o sferach i świetle. Takie podsumowania czasem się przydają. Służą jakby za mapę myślową, a mapy są pożyteczne.
Pracujemy na trzech planach:
Plan 1 – Sfera
Plan 2 – Płaszczyzna (zespolona)
Plan 3 – Czasoprzestrzeń
Plan 4 – Macierze hermitowskie 2x2
Obiekty planu 1 możemy rysować.
Rysowanie na powierzchni sfery nie przedstawia większych trudności. Obiekty planu 2 też możemy rysować, problem jest jednak ten, że cała nieskończona płaszczyzna nie zmieści się na skończonym ekranie. Musimy więc zawsze ograniczyć się do jakiejś wybranej, najlepiej ciekawej, części płaszczyzny.
Ze sferą też jest mały problem: na jednym obrazku możemy pokazać jedynie jedną połówkę sfery. By obejrzeć całą sferę trzeba co najmniej dwóch obrazków. Animacja obracającej się sfery może być jeszcze lepsza.
Z czasoprzestrzenią mamy ten sam problem co z płaszczyzną: nie mieści się na ekranie. Dodatkowo ma cztery wymiary: jeden dla czasu i trzy dla przestrzeni. By ją jakoś przedstawić trzeba jeden wymiar obciąć, na przykład z (X,Y,Z) pozostawić tylko (X,Z). Trzeba przy tym zdawać sobie sprawę z tego, że to obcięcie wymiaru będzie wymagało tu i ówdzie korekty naszych intuicji opierających się na obrazkach.
Plan 4 nie wymaga obrazków. Wymaga formuł. Formuły to też jednak rodzaj obrazków. Tyle, że inna połowa mózgu jest przy tym silnie uaktywniana.
Z planu 1 do planu 2 przechodzimy przez rzut stereograficzny. Mam tu na myśli sferę jednostkową, zatem sferę o środku w początku układu współrzędnych i promieniu jednostkowym. Punkt na sferze o współrzędnych (X,Y,Z) związanych równaniem sfery
jest rzutowany na punkt płaszczyzny o współrzędnych (x,y)
Rzut stereograficzny
Jeśli chcemy, to możemy x i y interpretować jako część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej z
lub, jeśli ktoś chce zdenerwować czytającego, napisze to jako:
Pierwiastek z -1 denerwuje chyba bardziej niż niewinne „i”?
Interpretowanie x,y jako części rzeczywistej i urojonej liczby zespolonej pokazuje swe zalety przy transformacjach. Z jakiegoś dziwnego powodu ważne transformacje sfery czy płaszczyzny (mianowicie te przeprowadzające okręgi w okręgi) dają się łatwo i zgrabnie zapisać używając działań na liczbach zespolonych, gdzie reguła i2 = -1 gra swoją ważną rolę. Czemu tak jest? To zagadka. Jakiś spisek Przyrody. Co ma piernik do wiatraka? Co ma miły okrąg do parszywego pierwiastka z minus jedynki? A jednak ma. Zamiast więc się zrzymać na pierwiastek z (-1) lepiej posługiwać się tym zesłanym nam przez niebo narzędziem. Bo jest nietrudne w obsłudze a instrukcję obsługi znaleźć można we wszystkich bodaj językach świata.
Z płaskich współrzędnych (x,y) możemy wrócić na sferę transformacją odwrotną. Z (x,y) można wyliczyć współrzędne (X,Y,Z) rzutowanego punktu na sferze:
Ze sfery (Plan 1) możemy też skoczyć do czasoprzestrzeni. Interpretujemy mianowicie naszą sferę jako sferę kierunków z których dochodzi do nas (tu i teraz) światło. Gdy promień światła nas minie, za rok znajdzie się gdzieś w przestrzeni, w odległości jednego roku świetlnego od nas, na przedłużeniu linii z której do nas dotarł. Możemy więc mu przyporządkować współrzędne
T= 1 (bo za rok)
X,Y,Z
spełniające równanie
(bo w odległości jednego roku świetlnego od nas). Zatem przejście ze sfery do czasoprzestrzeni jest niezmiernie proste:
(X,Y,Z) → (1,X,Y,Z)
Punkt na przecięciu stożka przyszłości z płaszczyzną T = 1.
W czasoprzestrzeni mamy stożek świetlny opisany równaniem
Każdy punkt tego stożka to „chwila” w historii jednego z promieni światła przechodzącego przez „zdarzenie początkowe” T=0,X=0,
Oczywiście mowa tu o historii z naszego punktu widzenia, bo samo światło jakby czasu w ogóle nie czuje. Czas dla światła nie istnieje. Światło się nie starzeje. Tak przynajmniej się to mówi w ramach szczególnej teorii względności. Jak to jest naprawdę sprawdzić trudno. Doświadczalne sprawdzenie, ale takie nie pozostawiające cienia wątpliwości, to by się tu przydało. Nasza naukowa technologia jeszcze do tego nie dorosła. Trzeba poczekać. Nie jest też jasne jakimi zegarami należy starzenie się mierzyć? Kwarcowymi? Cezowymi? Biologicznymi? Jeszcze jakimiś innymi? Czy zawsze wyjdzie na to samo?
Uwaga: Oczywiście taki „stożek świetlny” można narysować z każdego innego punktu czasoprzestrzeni. Każdy taki punkt ma swój stożek świetlny. Tutaj koncentrujemy się na jednym.
Mając dowolny punkt na stożku świetlnym, zatem punkt którego współrzędne spełniają równanie
możemy przejść na sferę przecięcia promienia świetlnego z płaszczyzną T=1:
X/T, Y/T, Z/T
Pozostał nam do omówienia Plan 4. Ale o tym już w następnej notce.
