Patrzymy w rozgwieżdżone niebo. Co widzimy? W dobrą pogodę widzimy mnóstwo gwiazd. Czasem jakiś satelita przemknie. Czasem wysoko lecący samolot. Czasem – coś niezidentyfikowanego. Przez teleskop możemy zobaczyć pierścienie Saturna. To co widzimy „już było”, „już nie jest”. Pochodzi z przeszłości. Bliskiej lub odległej, ale z przeszłości. Teleskop Hubble , wiszący nad Ziemią, widzi podobno zdarzenia, które miały miejsce 380 milionów lat po „Wielkim Wybuchu”, zatem ok. 13 miliardów lat temu.
Światło z odległych galaktykach dociera do nas odbywając swą podróż z prędkością, jak dziś wierzymy, ok. 300 000 km/s. Czy prędkość światła naprawdę można uznać za stałą? Można tu mieć wątpliwości i nawet wybitni fizycy takowe mają. Niemniej w naiwnym modelu od takiego założenia można wyjść. Nie jest ono z tych najgorszych. I ja tak robię.
Na diagramie czasoprzestrzennym przedstawiamy promienie świetlne dolatujące do punktu x=y=z=0, t=0 w postaci „stożka przeszłości”:
Jeśli za jednostkę czasu wybierzemy jeden milion lat, wtedy na diagramie możemy namalować płaszczyznę przedstawiającą zdarzenia mające miejsce gdzieś w świecie milion lat temu. Płaszczyzna ta przetnie stożek przeszłości – przecięciem będzie sfera. Na obrazku przecięcie jest jedynie okręgiem a nie sferą, bo z (x,y,z) opuściliśmy y.
Każdy promień światła docierający do nas z przeszłości można przedstawić jako punkt na tej sferze. Ten punkt reprezentuje miejsce gdzie promień ten był milion lat temu. Jeśli promień został wyemitowany jedynie sekundę temu, możemy go sobie przedłużyć w przeszłość i wykalkulować gdzie musiałby być milion lat temu. Zakładamy przy tym, że światło rozchodzi się po liniach prostych ze stałą prędkością. Założenie być może naiwne, jednak na nasze potrzeby wystarczające.
Możemy sobie nawet promień przedłużyć w przyszłość – aż do, powiedzmy, milion lat od dziś. Wtedy przetnie on płaszczyznę t=1.
Tak czy siak promienie świetlne spotykające się w „dziś i tutaj” możemy reprezentować jako punkty na sferze. Umownie nazwijmy ją „sferą niebieską”. Taką jak ta:
Czas zabrać się do algebry. Weźmy punkt na sferze o współrzędnych (x,y,z). Umówmy się, że jest to sfera o promieniu 1.
Zatem x2 +y2 + z2 = 1. Z każdym punktem (t,x,y,z) możemy stowarzyszyć macierz zespoloną 2x2, nazwijmy ją P, według przepisu
[t +z, x + iy]
[x – iy, t – z]
Macierze P są „hermitowskie”. To znaczy transponowanie takiej macierzy (przekręcenie względem głównej przekątnej lewa góra – prawy dół) jest tym samym co zamiana i na – i przy rzeczywistych współczynnikach.
Ślad tej macierzy – suma wyrazów na głównej przekątnej – jest równy 2t. Wyznacznik jest równy
t2 – x2 – y2 - z2 . Jest to „relatywistyczny niezmiennik”, który pęta się wszędzie gdzie dyskutowana jest szczególna teoria względności. Gdy podstawimy tu t = 1:
oraz równanie sfery x2 +y2 + z2 = 1, widzimy, że nasz wyznacznik jest równy zeru. Podnosząc taką macierz do kwadratu ze zdumieniem stwierdzamy, że (P/2)2 = P/2
Wniosek: promienie świetlne przechodzące przez „tu i teraz” można przedstawiać jednoznacznie jak macierze hermitowskie 2x2 o wyznaczniku równym zero i śladzie równym 2. Macierze P/2 są „idempotentami” t.j. (P/2)2 = P/2 - kwadrat takiej macierzy jest równy jej samej.
Takie to jest algebraiczne przedstawienie sfery niebieskiej. Jakby nieco skomplikowane. Ale to, niewielkie zresztą, skomplikowanie teraz opłaci się nam w przyszłości.
I tu rzecz ciekawa. Bowiem hermitowskie idempotenty spotykamy w mechanice kwantowej. Reprezentują tam one wielkości fizyczne typu „tak-lub-nie”. Inaczej: pomiary w których odpowiedzią jest jedynie 0 lub 1. Na przykład możemy ustawić przyrząd mierzący kierunek spinu cząstki wedle zasady: „skierowany w górę czy w dół?” lub „skierowany w prawo czy w lewo?” lub „skierowany do przodu czy do tyłu?”.
Co ma wspólnego sfera niebieska z pomiarami kierunku spinu? Na chłopski rozum nie powinna mieć nic wspólnego. Chyba, że matematyka chce nam dać coś do zrozumienia, coś czego dziś jeszcze nie możemy pojąć.
Z naszym przedstawieniem sfery niebieskiej macierzami wiążą się przekształcenia Lorentza. Czy one mają coś do powiedzenia w mechanice kwantowej spinu? Jeśli tak – to co to takiego? Dojdziemy do tego. Już niedługo nawet.
Uwaga:W mechanice kwantowej spinu 1/2 nasza konkretna macierz P reprezentuje doświadczenie w którym chcemy znaleźć odpowiedź na pytanie: Czy spin skierowany jest w kierunku wektora jednostkowego o współrzędnych (x,y,z), czy też może w kierunku przeciwnym?
