Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
1008
BLOG

SL i PSL – w działaniu

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 12

 

Poznacie ich po ich owocach. Tak stoi w Ewangelii.
 
Mt 7,15-20
15 Miejcie się na baczności przed fałszywymi prorokami. Oni przychodzą do was w przebraniu owczym, a wewnątrz są drapieżnymi wilkami. 16 Poznacie ich po ich owocach. Czy zbiera się winogrona z cierni lub figi z ostów. 17 Tak właśnie każde dobre drzewo rodzi dobre owoce, a drzewo zagrzybione rodzi owoce zepsute. 18 Nie może dobre drzewo rodzić zepsutych owoców ani drzewo zagrzybione rodzić dobrych owoców. 19 Każde drzewo, które nie rodzi dobrego owocu, jest wycinane i wrzucane do ognia. 20 Tak zatem poznacie ich po ich owocach.
 
Owoce, czyli wyniki działania. Działanie, dzieło, działo. Dlaczego działo nazywa się działo?
 
Nam strzelać nie kazano. - Wstąpiłem na działo
 
I spójrzałem na pole; dwieście armat grzmiało.
.
Tu blask - dym - chwila cicho - i huk jak stu gromów.
 
Zaćmiło się powietrze od ziemi wyłomów,
 
Harmaty podskoczyły i jak wystrzelone
 
Toczyły się na kołach - lonty zapalone
 
Nie trafiły do swoich panew. I dym wionął
 
Prosto ku nam; i w gęstej chmurze nas ochłonął.
 
I nie było nic widać prócz granatów blasku,
 
I powoli dym rzedniał, opadał deszcz piasku.
 
Spojrzałem na redutę; - wały, palisady,
 
Działa i naszych garstka, i wrogów gromady;
.
REDUTA ORDONA
OPOWIADANIE ADIUTANTA
Adam Mickiewicz
 
A jak działa grupa SL(2,R)? Grupa macierzy 2x2 o współczynnikach rzeczywistych i wyznaczniku 1? Na co działa? Którędy? Czy działa wiernie? Czy działa przechodnio? Czy działa swobodnie?
 
 
Działanie grupy na zbiorze
 
Działanie grupy – w algebrze i geometrii sposób opisania symetrii obiektów za pomocą pojęcia grupy. Istotne elementy obiektu opisane są za pomocą zbioru, a jego symetrie za pomocą jego grupy symetrii, która składa się z wzajemnie jednoznacznych przekształceń geometrycznych wspomnianego zbioru. Wówczas grupę tę nazywa się także grupą permutacji (szczególnie, jeśli zbiór jest skończony lub nie jest przestrzenią liniową) lub grupą przekształceń (szczególnie, gdy zbiór jest przestrzenią liniową, a grupa działa jak przekształcenia liniowe zbioru).
Definicja
 
Niech G będzie grupą, a X oznacza pewien zbiór, którego elementy nazywane punktami będą oznaczane pismem prostym. Wówczas (lewostronnym) działaniem grupy G na zbiorze X nazywa się funkcję dwuargumentową
 
 
 
spełniającą następujące dwa aksjomaty:
 
 
gdzie g, h są dowolnymi elementami grupy G, element x należy do zbioru X, zaś e oznacza element neutralny w G. Zbiór X nazywa się wtedy (lewostronnym) G-zbiorem, co formalnie można oznaczać parą uporządkowaną (X, G); o grupie G mówi się zaś, że działa na X (z lewej strony).
Grupa G działa na zbiorze X:
 
przechodnio lub tranzytywnie, jeżeli dla dowolnych punktów x, y w X istnieje element g w G taki, że y = g(x)
ściśle przechodnio (tranzytywnie), jeżeli wspomniane g jest dokładnie jedno; jest to równoważne niżej zdefiniowanej regularności.
n-przechodnio (n-tranzytywnie), jeżeli dla dowolnych parami różnych x1, ..., xn i parami różnych y1, … , yn istnieje takie g, że g(xk) = yk dla k = 1, ..., n. Działanie 2-przechodnie (2-tranzytywne) nazywa się czasami dwukrotnie przechodnim (tranzytywnym), 3-przechodnie (3-tranzytywne) – trzykrotnie przechodnim (tranzytywnym) itd.
ściśle n-przechodnim (tranzytywnym), jeśli istnieje dokładnie jedno takie g.
wiernie bądź efektywnie, jeżeli dla dowolnych dwóch różnych g, h w G istnieje x w X taki, że g(x) ≠ h(x); równoważnie: jeżeli dla dowolnego g w G, g ≠ e, istnieje x w X taki, że g(x) ≠ x; intuicyjnie: różne elementy G indukują różne permutacje X.
wolne, jeżeli dla dowolnych dwóch różnych g, h w G i wszystkich x w X zachodzi g(x) ≠ h(x); równoważnie, jeżeli g(x) = x dla pewnego x, to g = e.
regularne, jeżeli jest zarazem przechodnie i wolne; jest to równoważne warunkowi, iż dla każdych dwóch x, y w X istnieje dokładnie jedno g w G takie, że g(x) = y. W tym przypadku o X mówi się, że jest główną przestrzenią jednorodną lub że jest G-torsorem.
 
Matko Boska! Jedna grupa, jeden zbiór, jedno działanie, a tyle różnych pojęć! Ale to nic. Mamy grupę, jest nią SL(2,R). Powoli się w tym wszystkim rozbierzemy. Ale zacząć warto od poznania bliżej naszego aktora, jego nawyków, jego ułomności i stron silnych. Chciałoby się grupę SL(2,R) najpierw móc sobie wyobrazić, a najlepiej wręcz narysować. Czy Wikipedia nam w tym pomoże? Niestety, zarówno polska jak i nawet angielska Wikipedia są tu za słabe. Interesuje nas rozkład biegunowy macierzy rzeczywistych i Wikipedie w tym przypadku albo nabierają wody w usta, albo, jeśli już coś wspomną, to mało konkretnie. A potrzebne nam jest taka oto własność:
 
Twierdzenie o rozkładzie biegunowym dla macierzy nieosobliwych rzeczywistych
 
Każdą macierz rzeczywistą nieosobliwą A można jednoznacznie przedstawić w postaci
 
A = TU
 
gdzie T jest macierzą rzeczywistą, symetryczną, dodatnią, zaś U jest macierzą ortogonalną (izometrią).
 
W niewielu podręcznikach można to twierdzenie znaleźć. Ja znam taki tylko jeden: Sheldon Axler, „Linear Algebra Done Right|, Springer, 1997, 7.41. Ale nawet tam trzeba nieco podedukować.
 
 
Najpierw co to jest macierz ortogonalna? To taka macierz U, że UtU = UUt = I, gdzie Ut oznacza macierz transponowaną do macierzy U.
 
Biorąc wyznacznik z obu stron, i biorąc pod uwagę fakt, że wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej, wyznacznik iloczynu jest iloczynem wyznaczników, zaś det (I) =1, dostajemy 1 = det(UUt)) = det(U) det(Ut ) = det(U)2. Stąd det(U) = ±1. Ale nasza T jest macierzą dodatnią, zatem ma wyznacznik dodatni, zaś det(A) = 1, stąd i nasza U z rozkładu musi mieć wyznacznik 1.
 
 
Jeśli macierz U to
 
[a b]
[c d]
 
wtedy Ut  to macierz
 
[a c]
[b d]
 
Przekręcamy względem przekątnej. Elementy na przekątnej pozostają na miejscu. Czyli zamieniamy miejscami b i c. Teraz możemy skorzystać z własności UUt = I, wymnożyć i przyrównać do macierzy jednostkowej [[1,0],[0,1]]. Otrzymamy trzy niezależne równania:
 
a2+b2 = 1
c2+d2 = 1
ac+bd = 0
 
Ponieważ det(U) =1, mamy też dodatkowe równanie:
 
ad – bc = 1.
 
Teraz to już tylko algebra. Można to robić ręcznie, na kartce papieru, można skorzystać z programu Maxima. Można też rozumować geometrycznie, traktując (a,b) i (c,d) jako wektory (jednostkowe!) i doszukując się w tych równaniach iloczynu skalarnego i iloczynu wektorowego tych dwóch wektorów. Tak czy siak rozwiązanie jest takie: Istnieje jedyny kąt φ, pomiędzy 0 a 2 π taki, że
 
a = cos φ
b = -sin φ
c = sin φ
d = cos φ
 
Czyli U ma postać:
 
[cos φ -sin φ]
[sin φ cos φ]
 
Jest to macierz obrotu o kąt φ, przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. Wiemy już jak może działać U. Zobaczymy jednak wkrótce, że może też działać nieco inaczej.
 
Uwaga: Znaki przy "sin φ" poprawione w stosunku do oryginału. Patrz dyskusja ikometarz Bjaba.
 
Macierze U są sparametryzowane jednym parametrem φ, który można sobie wyobrażać jako punkt na okręgu. Macierze U to okrąg.
 
A jak działa i co robi T? Co to za bies? Jak wygląda? Co robi? Można do tego podchodzić na różne sposoby. Ja wybiorę jeden z tych sposobów. T z twierdzenia jest macierzą dodatnią. W szczególności (to część definicji dodatniości macierzy rzeczywistej) jest macierzą symetryczną. Przestrzeń macierzy symetrycznych 2x2 jest trójwymiarowa. Za bazę możemy wybrać macierze
 
e0 = [[1,0],[0,1]]
e1 = [[0,1],[1,0]]
e3 = [[1,0],[0,-1]]
 
Czemu tak a nie inaczej ponumerowałem tę bazę? A co, nie wolno? A serio: by ktoś, kto słyszał coś kiedyś o macierzach Pauliego, mógł te macierze łatwo rozpoznać. Może my więc naszą macierz T rozłożyć na macierze bazowe:
 
T = t e0 + x e1 +z e3
 
gdzie t,x,z są liczbami rzeczywistymi. Korzystając z definicji macierzy bazowych dostaniemy więc:
 
T =
 
[[t+z,x],[x,t-z]]
 
Macierz T ma być dodatnia. Zatem jej ślad (suma wartości własnych) i wyznacznik (iloczyn wartości własnych) muszą być dodatnie. Wyznacznik musi zresztą być wręcz równy 1. Ślad macierzy T to (t+z) + (t-z) = 2t, czyli t musi być dodatnie. Wyznacznik to (t+z)(t-z)-x2 = t2-x2-z2. Z własności det(T)=1 dostajemy więc równanie
 
t2-x2-y2 = 1
 
a skoro t ma być dodatnie, stąd i rozwiązanie:
 
t = √ 1+x2+ z2.
 
A to jest przecież równanie hiperboloidy!
 

Hiperboloida

 
Każde T to punkt naszej hiperboloidy. U samego jej spodu jest punkt z x=z=0, t=1 – to macierz jednostkowa.
Zatem każdy element naszej grupy SL(2,R) to para punktów: punkt na okręgu i punkt na hiperboloidzie. Nie ma tego jak namalować. Gdybym z każdego punktu okręgu chciał wystawiać hiperboloidę, to w trójwymiarowej przestrzeni musiały pozachodzić na siebie. Można SL(2,R) namalować jako powierzchnię w cztero-wymiarowej przestrzeni, ale tam nasze oko nie sięga.
 
Wiemy już jak nasz aktor wygląda. Ale co on robi? Oto jest pytanie.
 
Otóż SL(2,R) działa na wielu kierunkach i na wielu polach. Od czegoś trzeba jednak zacząć. Więc zacznijmy od tego, że działa na liczby rzeczywiste przez przekształcenia ułamkowo liniowe:
 
Jeśli A = [[a,b],[c,d]], zaś v jest liczbą rzeczywistą, to pod działaniem A v przechodzi w
 
A(v) = (av+b)/(cv+d)
 
Niby przepis mamy, ale nie jest on dobrym działaniem z definicji działania grupy na zbiorze ( w tym przypadku zbiorem tym byłaby prosta rzeczywista R). Kłopot pojawia się bowiem gdy mianownik ułamka jest zerem. Nie przejmujmy się jednak tym na razie, damy sobie z tym radę zamykając prostą w okrąg dodając „punkt w nieskończoności” - "Cayleyem go!". Zauważmy tylko, że jeśli A zamienimy na -A , od czego wyznacznik się nie zmieni, to minusy w liczniku i w mianowniku się uproszczą. A i -A działają tak samo. Nasze działanie  nie jest wierne, nie jest efektywne. I cóż z tego?! Możemy w SL(2,R) wprowadzić relację równoważności, utożsamić A z -A, dostaniemy też grupę. Tę nazywa się PSL(2,R). PSL(2,R), z samej konstrukcji, działa na prostej już efektywnie. Utożsamienie A i -A sprowadza się do utożsamienia dwóch przeciwległych punktów na okręgu. Trudno sobie wyobrazić okrąg z utożsamionymi przeciwległymi punktami? Nie tak znów trudno – to też okrąg!
 
Innymi słowy SL(2,R) i PSL(2,R) mają dokładnie ten sam „kształt” - okrąg razy hiperboloida.
 
Do tego utożsamiania A z -A, do utożsamiania przeciwległych punktów na okręgu jeszcze wrócimy. Ma to ścisły związek ze spinem i z faktem, że:  spinor trzeba obrócić o „nasze” 720 stopni by wrócił do siebie, podczas gdy dla zwykłych obiektów w przestrzeni wystarczy zwykłe 360 stopni.
 
A gdzie te spinory? Każdy wiersz macierzy z SL(2,R) można uważać za spinor. Każdą kolumnę. Każdy wektor [u,v] na który działa macierz z SL(2,R) zwykłą regułą działania macierzy na wektory-kolumienki, każdy taki wektor można uważać za spinor.
 
A gdzie czas, przestrzeń, obiekty w czasoprzestrzeni (okrojonej z wymiaru y)? Jak SL(2,R) działa w naszej rzeczywistości, a nie w jakiejś tam „spinorowej”? O tym będzie w kolejnej notce.
 
Na koniec, wracając do Ordona, żeby nie było żadnych niedopowiedzeń: te wrogi to kto? Wiadomo kto: Moskale! Zatem: Na Moskala:
 
Lang SL(2,R)
SL2(R)
Автор: Ленг С.
Категория: Математика
Тип: Книга

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie