Rzeczywistość w kwadracie: SL(2,R)

Rzeczywistość – jaki ma kształt? Okrągła jest? Eliptyczna? A może trójkątna lub kwadratowa?Optujemy za tą ostatnią. O liczbach rzeczywistych dyskutowaliśmy w notce 0.999... Ale te były jakieś takie samotne. Czemu nie zebrać je w czwórki i maszerować czwórkami? Czwórkę liczb rzeczywistych a,b,c,d możemy ustawić w kwadratową tabelkę – macierz o dwóch wierszach i dwóch kolumnach, inaczej „2x2”, jakoś tak

A =

[a b]

[c d]

Macierze możemy do siebie dodawać a także mnożyć jedna przez drugą. Są na to proste reguły. Z dzieleniem macierzy przez macierz jednak jest czasem krucho. By sensownie móc podzielić macierz B przez macierz A, macierz A musi być nieosobliwa. Jej wyznacznik

det(A) = ad-bc

musi być różny od zera. Z Wikipedii:

Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z definicji permutacyjnej wyznacznika:

$\det A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Ponieważ dzielenie lubimy, zajmiemy się macierzami 2x2 o współczynnikach rzeczywistych, których wyznacznik jest równy 1. Zbiór tych macierzy tworzy grupę SL(2,R) – Specjalna Liniowa grupa macierzy 2x2 Rzeczywistych. To Bardzo Ważna Grupa.

Kto niecierpliwy może już zajrzeć czego to w tym Utah uczą – wystarczy kliknąć na obrazek powyżej, a potem załadować pdf „Geometry”.

I nawet sens fizyczny grupie się da przypisać – ale „o tem potem”. Na początek dwa przykładowe elementy z SL(2,R).

Macierz jednostkowa – przekątniowa (diagonalna):

I =

[1 0]
[0 1]

I macierz anty-przekątniowa, nazwijmy ją w:

w =

[0 1]
[-1 0]

Obie mają tę własność, że podniesione do czwartej potęgi dają I (ta pierwsza podniesiona nawet do drugiej czy trzeciej!). Obie też mają tę własność, że ich elementy są liczbami całkowitymi. Oczywiście iloczyn dwóch macierzy o elementach całkowitych ma elementy, które są liczbami całkowitymi. A co z ilorazem? Iloraz macierz B przez macierz A zapisujemy jako

BA^-1.

Formułka na A^-1, dla macierzy z SL(2,R) jest prosta:

A^-1=

[d -b]
[-c a]

Wymnóżcie A przez A^-1 (i A^-1 przez A) i się przekonajcie! Wszystko przez to det(A) = ad-bc = 1. Z tej prostej formuły na odwrotność macierzy z SL(2,R) wynika ważny Wniosek:

jeśli A jest macierzą z SL(2,R) o współczynnikach całkowitych, to jej odwrotność A^-1 ma też wszystkie elementy całkowite.

Macierze z SL(2,R) w współczynnikach całkowitych tworzą więc też grupę. Ta oznaczana jest symbolem SL(2,Z).

Niecierpliwym wyjawię, że grupa SL(2,R) związana jest ze spinem w uproszczonej czasoprzestrzeni o dwu tylko wymiarach przestrzennych (jeśli z x,y,z odpuścimy z i zostawimy tylko x,y) i jednym wymiarze czasowym. Ale „o tem potem” – w niedalekiej a jakże ciekawej przyszłości. Bo przyjdzie wkrótce też „grupa modularna” wraz z jej Esherowatą grafiką: